Potenzen mit rationalen Exponenten (Studium)

Question

Aufgabe: Potenzen mit rationalen Exponenten

Es seien m,n ∈ ℕ und a,b ∈ ℝ+. Zeigen Sie:

(a) a^1/m < a^1/n, falls m<n und 0<a<1,
(b) a^1/m >a^1/n, falls m<n und a>1,
(c) b^1/n −a^1/n <(b−a)^1/n, falls a<b und n≥2.

Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe komme ich nicht zurecht. Ich weiß nicht welcher Potenzgesetz mir helfen soll. Wie soll ich mit dem Bewies vorangehen?

Wäre es richtig wenn ich für a,b und m,n (beliebig also für ℕ und ℝ) Zahlen einsetzte?

Answer 1

a) \( a^{\frac{1}{m}}<a^{\frac{1}{n}} \) falls \( m<n \) und \( 0<a<1, m \in \mathbb{N} n \in \mathbb{N} \)
\( \begin{array}{l} \frac{a^{1}}{a^{m}}<\frac{a^{1}}{a^{n}} \\ \frac{a}{a^{m}}<\frac{a}{a^{n}} \mid: a \\ \frac{1}{a^{m}}<\frac{1}{a^{n}} \mid \cdot\left(a^{m} \cdot a^{n}\right) \\ a^{n}<a^{m} \end{array} \)
Probe: \( m=4 \) und \( n=5 \) und \( a=\frac{1}{2} \)
\( \begin{array}{l} \left(\frac{1}{2}\right)^{5}<\left(\frac{1}{2}\right)^{4} \\ \frac{1}{32}<\frac{1}{16} \\ 16<32 \end{array} \)

Comments

Ich nehme an, dass deine Umformungen

Äquivalenzumformungen sein sollen.

Die Umformung

\(a^{\frac{1}{m}}<a^{\frac{1}{n}}\Leftarrow \frac{a^1}{a^m}<\frac{a^1}{a^n}\)

verstehe ich nicht.

Bei der linken Ugl. hanselt es sich doch um

\(\sqrt[m]{a}<\sqrt[n]{a}\)

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\(a^{\frac{1}{m}}<a^{\frac{1}{n}}\Leftarrow \frac{a^1}{a^m}<\frac{a^1}{a^n}\)

Es sei a=9 und m=2

9^(1/2)=3

9^1/9^2=1/9

Du hast recht, die Umformung ist somit nicht möglich.

Danke für deinen Hinweis!

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Eigentlich Schade! Das wäre doch viel einfacher gewesen ;-)