Question

Sei A die Aussage “Alle Autos haben den gleichen Abgaswert”. Finden Sie den Fehler im folgenden Induktionsbeweis von A.

 Für ein Auto b sei G(b) sein Abgaswert. Für eine fixe natürliche Zahl n ≥ 1 sei A(n) die Aussage. "Für jede Menge B bestehend aus n Autos gibt es einen Abgaswert G, so dass gilt ∀b ∈ B : G(b) = G”.

Induktionsanfang (A(1)): Sei B eine Menge bestehend aus einem Auto. Dann ist B := {b₁} fur ein Auto b₁. Sei G := G(b₁). Dann gilt natürlich ∀b ∈ B : G(b) = G. Daher ist A(1) wahr.

Induktionsschluss (∀k ≥ 1 : A(k) → A(k + 1)): Es gelte die Induktionsvoraussetzung A(k) für ein beliebiges k ≥ 1. Sei B = {b₁, . . . , b_k+1} eine Menge mit k+1 Autos b₁, . . . , b_k+1. Betrachte B₁ := {b₁, . . . , b_k} und B₂ := {b₂, . . . , b_k+1}. Sowohl B₁ als auch B₂ sind Mengen mit k Autos. Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gibt es somit Abgaswerte G₁ und G₂, so dass ∀b ∈ B₁ : G(b) = G₁ und ∀b ∈ B₂ : G(b) = G₂. Sei nun b ∈ B₁ ∩ B₂ ein beliebiges Auto. Dann gilt G₁ = G(b) = G₂. Daher gilt ∀b ∈ B : G(b) = G₁. Das beweist A(k + 1).

Da nur endliche viele Autos auf der Welt existieren, haben nach dem Induktionsprinzip also alle Autos den gleichen Abgaswert.

Answer 1

A(1) ⇒ A(2)  (= Übergang von n=1 → n=2)  funktioniert nicht:

B₁ ∩ B₂ ist dann leer. 

Gruß Wolfgang