Beweisen oder widerlegen mit vollständiger Induktion: (7^2n ) -(2^n) ist durch 47 teilbar n>0

Question

Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie mithilfe der vollständigen Induktion:

(7^2n ) -(2^n) ist durch 47 teilbar n>0

Problem/Ansatz:

ich habe folgende aufgabe bekommen und

weiss nicht , ob ich sie ja doch richtig gelöst habe .

brauche  eure Hilfe .

induktionanfang n=0

47: 0 teilbar  (für n NULL einsetzen)

induktionschritt: n=n+1

47: 2^2(n+1) -2^n+1 (für n (n+1)einseetzen

47: 2^2n+2 - 2^^n+1

47: 2^^2n *2^^1 - 2^^n *2^^1

Comments

An den, der die Frage so formuliert hat. (Das ist vermutlich nicht dein Fehler :) ) Mit vollständiger Induktion widerlegen ist eigentlich sehr umständlich. Ein Gegenbeispiel würde genügen, wenn die Aussage denn nicht stimmen würde.

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Noch drei Antworten dazu gibt's hier: https://www.mathelounge.de/579634/beweisen-dass-7-2n-2-n-durch-47-teilbar-ist.

Answer 1

Induktionsanfang musst du mit n=1 machen, da steht doch n>0.

Und für n=1 gibt es auch 47, bei n=0 gäbe es 0.

und :    47 ist durch 47 teilbar.

Nicht 47 : ….   sondern    …. : 47. Also eher so:

 7⁽²ⁿ⁺¹⁾ -2ⁿ⁺¹ (für n (n+1) einsetzen

= 7^2 * 7^(2n) - 2*2^n

= 49*7^(2n) - 2*2^n

= 47*7^(2n) +7^(2n) +7^(2n) - 2^n  - 2^n

 = 47*7^(2n)+ [7^(2n) - 2^n]  +[7^(2n) - 2^n]

Der erste Summand ist durch 47 teilbar, weil er den Faktor 47 enthält und die

beiden eckigen Klammern nach Induktionsvoraussetzung.

Also ist auch die Summe der 3 Teile durch 47 teilbar.   q.e.d.

Comments

was hast du da gemacht:

= 47*7^(2n) +7^(2n) +7^(2n) - 2n  - 2n

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Vorher war es: = 49*7^(2n) - 2*2^n

Und irgendwie muss man ja die Induktionsvoraussetzung

47 teilt 7^(2n) - 2^n   einbringen.

Dazu habe ich 49*7^(2n) aufgeteilt in (47+2)*7^(2n)

und Klammer aufgelöst 47*7^(2n) +2*7^(2n)

und dann nochmal aufgeteilt 47*7^(2n) +7^(2n) + 7^(2n) .

Und die   - 2*2^n aufgeteilt in    - 2^n  - 2^n .

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@morit: 2 * 2^n = 2^n + 2^n  noch klar?

Analog zu 2 * 10 = 10 + 10 .

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Induktionsanfang musst du mit n=1 machen

Wenn die Aussage für n≥0 gilt, dann gilt sie auch für n>0.

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Danke dir, habe verstanden.

Answer 2

Vollständige Induktion: 7^(2·n) - 2^n ist durch 47 teilbar


Zu zeigen:

7^(2·n) - 2^n ist durch 47 teilbar

Induktionsanfang: n = 0 bzw. n = 1

7^(2·0) - 2^0 = 0 ist durch 47 teilbar.
7^(2·1) - 2^1 = 47 ist durch 47 teilbar.

Induktionsschritt: n → n + 1

7^(2·(n + 1)) - 2^(n + 1) ist durch 47 teilbar
7^(2·n + 2) - 2^(n + 1) ist durch 47 teilbar
49·7^(2·n) - 2·2^n ist durch 47 teilbar
47·7^(2·n) + 2·7^(2·n) - 2·2^n ist durch 47 teilbar
47·7^(2·n) + 2·(7^(2·n) - 2^n) ist durch 47 teilbar

Eine Summe ist durch 47 teilbar wenn beide Summanden durch 47 teilbar sind. Ein Produkt ist durch 47 teilbar, wenn ein Faktor durch 47 teilbar ist.