Erlösfunktion Gewinnfunktion sowie -schwelle, -grenze und -maximum: K(x)= x^3 - 12x^2 + 60x + 96 und pN(x)= -10x + 120

Question

Aufgabenstellung:

Das Unternehmen XY hat im Jahr 2010 ein innovatives Produkt auf dem Markt eingeführt und war zu diesem Zeitpunkt der alleinige Anbieter, Die Marktsituation war durch folgende Funktionen beschrieben:

K(x) = x³ - 12x² + 60x + 96    und 

p_N(x) = -10x + 120

Die Kapazität der Maschinen kiegt bei 20 ME.

a) Bestimmen Sie die fixen Kosten.

b) Bestimmen Sie die Erlösfunktion

c) Ab wie vielen verkauften ME nimmt das Unternehmen 270 GE ein? 

d) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion.

e) Bestimmen Sie die Gewinnschwelle und die Gewinngreze.

f) Wie hoch ist das Gewinnmaximum?

g) Welchen Preis muss der Monopolist am Markt fordern um sein Gewinnmaximum zu erreichen?

 

Einige Lösungen habe ich bereits ermittelt und schreibe sie hier drunter. Ich bitte um Kontrolle der Ergebnisse bzw. Feedback ob sie korrekt sind.

a) K_fix= 96

b) E(x)= x * (-10x + 120) 

c) leider kein Ergebnis 

d) G(x)= -x³ + 2x² +60x + 96

e) Schwelle = 7,84 --- Grenze = 17,84 

f)G_max(x) = 21,34

g) kommt leider eine Minuszahl raus, da ich G_max aus aufgabe f) in p_N(x) einsetze.

Ich würde mich über eine schnelle Antwort sehr freuen, da ich mich auf eine Prüfung vorbereite.

Im voraus schon sehr vielen Dank :) :) 

Answer 1

Kostenfunktion

 

Das Unternehmen XY hat im Jahr 2010 ein innovatives Produkt auf dem Markt eingeführt und war zu diesem Zeitpunkt der alleinige Anbieter. Die Marktsituation war durch folgende Funktionen beschrieben:

 

K(x) = x^3 - 12·x^2 + 60·x + 96 und p(x) = - 10·x + 120

 

Die Kapazität der Maschinen liegt bei 20 ME.

 

a) Bestimmen Sie die fixen Kosten.

 

K(0) = 96 GE

 

b) Bestimmen Sie die Erlösfunktion

 

E(x) = x·p(x) = - 10·x^2 + 120·x

 

c) Ab wie vielen verkauften ME nimmt das Unternehmen 270 GE ein?

 

E(x) = 270

- 10·x^2 + 120·x = 270

x = 3 oder x = 9

 

Ab 3 ME nimmt das Unternehmen 270 GE ein.

 

d) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion.

 

G(x) = E(x) - K(x)

G(x) = (- 10·x^2 + 120·x) - (x^3 - 12·x^2 + 60·x + 96)

G(x) = - x^3 + 2·x^2 + 60·x - 96

 

e) Bestimmen Sie die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze.

 

G(x) = 0

- x^3 + 2·x^2 + 60·x - 96 = 0

x = 8 oder x = 1.582575694 [oder x = -7.582575694]

 

Die Gewinnschwelle liegt bei etwa 1.58 ME, die Gewinngrenze bei 8 ME.

 

f) Wie hoch ist das Gewinnmaximum?

 

G'(x) = - 3·x^2 + 4·x + 60 = 0

x = 5.188 ME

 

G(5.188) = 129.47 GE

 

g) Welchen Preis muss der Monopolist am Markt fordern um sein Gewinnmaximum zu erreichen?

 

p(5.188) = - 10·(5.188) + 120 = 68.12 GE