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Aufgabe 2 B. Es sei f : R2R f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R} definiert durch
f(x,y) : ={xyx+y2, falls (x,y)(0,0),0, falls (x,y)=(0,0). f(x, y):=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x y}{\sqrt{|x|}+y^{2}}, & \text { falls }(x, y) \neq(0,0), \\ 0, & \text { falls }(x, y)=(0,0) . \end{array}\right.
Man prüfe, ob f f in (0,0) (0,0) stetig ist.

Meine Vermutung wäre, dass die Funktion stetig wäre. Aber es zu beweisen fällt mir schwer. Ist die eventuell doch nicht stetig?

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Wie kann ich das denn jetzt noch beweisen?

xyx+y2xyx=xy0\left|\frac{xy}{\sqrt{|x|}+y^2}\right|\leq\frac{|x||y|}{\sqrt{|x|}}=\sqrt{|x|}|y|\to 0für (x,y)(0,0)(x,y)\to (0,0).

Avatar von 29 k
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Der Funktionswert ist gleich dem Grenzwert für [x.y]→[0,0].

Avatar von 124 k 🚀

Danke. Wie kann ich das denn jetzt noch beweisen?

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