Bestimmen Sie alle Zahlen x ∈[0,272], die die obigen Bedingungen erfüllen mittels des chinesischen Restsatz

Question

Aufgabe:

1. Bestimmen Sie alle Zahlen x ∈[0,272], die die obigen Bedingungen erfüllen.

2. Verändern sie das Kongruenzsystem so, dass es keine Lösung hat.

\( \begin{array}{l}2 x=1 \bmod 3 \\ 5 x=6 \bmod 13 \\ 3 x=4 \bmod 7\end{array} \)

Problem/Ansatz:

Bei 1. komme ich nicht weiter, ich weiß wie man eine Zahl bestimmt, die die obigen Bedingungen erfüllt, aber nicht wie ich es für Zahlen in einen Zahlenraum mache.

Bei 2. Würde ich bei der 3. Zeile die 7 mit einer 9 ersetzten ?

Comments

Was sind die obigen Bedinungen, die x erfüllen soll?

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Von einer Zahl ist folgendes bekannt: Das Doppelte der Zahl lässt bei Division durch 3 den Rest 1, das Fünffache der Zahl lässt bei Division durch 13 den Rest 6 und das Dreifache der Zahl lässt bei Division durch 7 den Rest 4.

Answer 1

Mit Kongruenzen lässt sich weitestgehend so rechnen, wie mit Gleichungen. Die Kongruenz

        \(5x \equiv 6\mod 13\)

darfst du deshalb auf beiden Seiten mit \(8\) multiplizieren und erhältst so

    \(40x \equiv 48\mod 13\).

Außerdem darfst du Produkte wie folgt vereinfachen:

        \((a\cdot b)\operatorname{mod}m = ((a\operatorname{mod}m)\cdot (b\operatorname{mod}m))\operatorname{mod}m\).

Damit kann obige Kongruenz vereinfacht werden zu

        \(x\equiv 9\mod 13\),

weil \(40\operatorname{mod}13 = 1\) und \(48\operatorname{mod}13 = 9\) ist.

Vereinfache die zwei anderen Kongruenzen ebenso und wende dann den chinesischen Restsatz an.

Answer 2

Bei 1. komme ich nicht weiter, ich weiß wie man eine Zahl bestimmt, die die obigen Bedingungen erfüllt, aber nicht wie ich es für Zahlen in einen Zahlenraum mache.

Wenn du eine Zahl bestimmen kannst dann kommst du sicher wie ich auch auf x = 230.

Weitere Lösungen sind jetzt im Abstand von kgV(3, 7, 13) = 273, weshalb es in dem genannten Intervall keine weiteren Lösungen mehr gibt.

2.Verändern sie das Kongruenzsystem so, dass es keine Lösung hat.

Warum veränderst du die 2. Zeile nicht zu

2x = 2 mod 3

Zusammen mit der 1. Zeile kann es dann ja garantiert keine Lösung geben.

Aber auch dein Lösungsvorschlag die 7 in eine 9 zu verwandeln wäre richtig. Allerdings muss ich zugeben, das ich das so auf anhieb nicht sehen würde wie du darauf gekommen bist.

Comments

Ich habe bei 2. Geschaut, dass der ggT <1 ist

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Du meinst großer > 1. Das alleine sorgt aber noch nicht zwangsweise dafür, dass es keine Lösung gibt.