Hallo Roland,
Die Flächen der Drachen lassen sich relativ leicht berechnen, wenn man sich zu Nutze macht, dass eine Winkelhalbierende eine Strecke, deren Endpunkte auf den Schenkeln des Winkels liegen, im gleichem Verhältnis teilt, wie die Abschnitte auf den Schenkeln.
Wenn ich die Fläche des ersten Drachens im Bild unter Deiner Frage mit \(F_a\) und die des mittleren mit \(F_c\) benenne sowie die Seiten des Dreiecks in der üblichen Weise, so sind die Flächen$$F_a = \frac{ab^2}{b+c} \\ F_c = \frac{a^2b}{a+b}$$Es reicht aus, diese beiden zu vergleichen. Damit \(F_c\) am größten wird, muss gelten$$\begin{aligned} F_c &\gt F_a \\ \frac{a^2b}{a+b} &\gt\frac{ab^2}{b+c} &&|\,\div ab\\ \frac{a}{a+b} &\gt\frac{b}{b+c} &&|\,\cdot \text{HN}\\ ab + ac &\gt ab + b^2 \\ ac &\gt b^2 &&|\, \tau = \frac{a}{b} \implies a = \tau b\\ \tau b \sqrt{\tau^2b^2 + b^2} &\gt b^2 &&|\, \div b^2 \\ \tau \sqrt{\tau^2 + 1} &\gt 1\\ \tau^4 + \tau^2 &\gt 1 \\ \tau^4 + \tau^2 + \frac14 &\gt \frac{5}{4} \\ \left(\tau^2 + \frac{1}{2}\right)^2 &\gt \frac{5}{4} \\ \tau^2 &\gt -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{5} \\ \tau & \gt \frac{1}{\sqrt{\Phi}} \end{aligned}$$aus Gründen der Symmetrie ist demnach \(F_c\) die größte der drei Flächen, wenn gilt$$\frac{1}{\sqrt{\Phi}} \lt \frac{a}{b} \lt \sqrt{\Phi}$$Gruß Werner
