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Aufgabe: Zeichne einen Kreis mit beliebigem Radius und Mittelpunkt M(0/0). Wähle einen beliebigen Punkt P im ersten Quadranten. Drücke mithilfe von Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck die Koordinaten des Punktes durchSinus bzw Cosinus aus.


Problem/Ansatz:

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Wenn ich mir im Internet Beziehungen im Einheitskreis anschaue, steht dort, dass P(x/y) ist mit x= cos(alpha) und y=sin(alpha).

Im Taschenrechner stimmen die Erhebnisse da logischerweise nicht. Ich weiß nicht, wie die Aufgabe zu lösen ist…

Ich bin für jede Hilfe dankbar!

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dein Kreis ist ähnlich zum Einheitskreis mit dem Ahnlichkeitsverhälntnis r/1

Du musst also alle Strecken aus dem EK mit dem Faktor r multiplizieren.

2 Antworten

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In deinem Beispiel hast du ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten r...Hypotenuse, x,y... Katheten. Dein Punkt P hat ja genau die Koordinaten (x,y) und jetzt wenden wir etwas Trigonometrie an  \( \sin(\alpha) = \frac{y}{r} \Rightarrow y = r \cdot \sin(\alpha) \), dasselbe spiel jetzt auch mit dem Cosinus \( \cos(\alpha) = \frac{x}{r} \Rightarrow x = r \cdot \cos(\alpha) \). Jetzt hast du die Koordinaten deines Punktes P(x,y) nur mithilfe von Sinus, Cosinus und dem Radius r ausgedrückt. Damit lauten die "neuen" Koordinaten deines Punktes \( P(r \cdot \cos(\alpha), r \cdot \sin(\alpha))\). In deinem Beispiel musst du jetzt nur deinen gewählten Radius r und deinen gewählten Winkel \( \alpha \) einsetzen und du hast deine Lösung :) Ich hoffe, das hilft dir weiter!

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Nach der Definition von \(\sin\) im rechtwinkligen Dreieck ist

        \(\sin\alpha = \frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}\).

In deinem Dreieck hat die Hypotenuse den von dir gewählten Radius \(r=3,5\) als Länge. Also ist

\(\sin\alpha = \frac{y}{3,5}\).

Löse die Gleichung nach \(y\) auf um die y-Koordinate von \(P\) zu berechnen.

Wenn ich mir im Internet Beziehungen im Einheitskreis anschaue

Der Einheitskreis hat den Mittelpunkt \((0|0)\) und den Radius \(1\).

Hätte dein Kreis den Radius \(1\), dann wäre

\(\sin\alpha = \frac{y}{1} = y\),

Also wäre \(\sin\alpha\) die y-Koordinate des Punktes auf dem Kreis.

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