Punkt im rechtwinkligen Dreieck durch trigonometrische Beziehungen

Question

Aufgabe: Zeichne einen Kreis mit beliebigem Radius und Mittelpunkt M(0/0). Wähle einen beliebigen Punkt P im ersten Quadranten. Drücke mithilfe von Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck die Koordinaten des Punktes durchSinus bzw Cosinus aus.

Problem/Ansatz:

Wenn ich mir im Internet Beziehungen im Einheitskreis anschaue, steht dort, dass P(x/y) ist mit x= cos(alpha) und y=sin(alpha).

Im Taschenrechner stimmen die Erhebnisse da logischerweise nicht. Ich weiß nicht, wie die Aufgabe zu lösen ist…

Ich bin für jede Hilfe dankbar!

Comments

dein Kreis ist ähnlich zum Einheitskreis mit dem Ahnlichkeitsverhälntnis r/1

Du musst also alle Strecken aus dem EK mit dem Faktor r multiplizieren.

Answer 1

In deinem Beispiel hast du ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten r...Hypotenuse, x,y... Katheten. Dein Punkt P hat ja genau die Koordinaten (x,y) und jetzt wenden wir etwas Trigonometrie an  \( \sin(\alpha) = \frac{y}{r} \Rightarrow y = r \cdot \sin(\alpha) \), dasselbe spiel jetzt auch mit dem Cosinus \( \cos(\alpha) = \frac{x}{r} \Rightarrow x = r \cdot \cos(\alpha) \). Jetzt hast du die Koordinaten deines Punktes P(x,y) nur mithilfe von Sinus, Cosinus und dem Radius r ausgedrückt. Damit lauten die "neuen" Koordinaten deines Punktes \( P(r \cdot \cos(\alpha), r \cdot \sin(\alpha))\). In deinem Beispiel musst du jetzt nur deinen gewählten Radius r und deinen gewählten Winkel \( \alpha \) einsetzen und du hast deine Lösung :) Ich hoffe, das hilft dir weiter!

Answer 2

Nach der Definition von \(\sin\) im rechtwinkligen Dreieck ist

        \(\sin\alpha = \frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}\).

In deinem Dreieck hat die Hypotenuse den von dir gewählten Radius \(r=3,5\) als Länge. Also ist

\(\sin\alpha = \frac{y}{3,5}\).

Löse die Gleichung nach \(y\) auf um die y-Koordinate von \(P\) zu berechnen.

Wenn ich mir im Internet Beziehungen im Einheitskreis anschaue

Der Einheitskreis hat den Mittelpunkt \((0|0)\) und den Radius \(1\).

Hätte dein Kreis den Radius \(1\), dann wäre

\(\sin\alpha = \frac{y}{1} = y\),

Also wäre \(\sin\alpha\) die y-Koordinate des Punktes auf dem Kreis.