Beweis der Subadditivität des arctan

Question

Aufgabe:

Hallo

kann man die Subadditvität des arctan bis dahin wie folgt zeigen (?) : ( Siehe Bild )

Text erkannt:

\( \arctan (x+y) \leq \arctan x+\arctan y \)
Es a lA
\( \begin{array}{l} \Rightarrow \arctan x+\int \limits_{0}^{y} \frac{1}{1+(u+x)^{2}} d u \ldots . \\ \end{array} \)
miro

Problem/Ansatz:

Jetzt entsteht das Problem des Abschätzens eines Integrals. Habt ihr da einen Tipp wie man (allgemein) vorgehen kann?

LG

Comments

Frage war nur wie ich das letzte Integral abschätzen kann nach oben...also " relativ unkompliziert. "

Das heißt das man quasi im Nenner etwas weglässt...Problem ist nur das ich nicht weiß was passiert wenn x negativ wäre.

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Also vereinfacht dargestellt:

\( \frac{1}{1 + ( u + x ) ^2 } \) ≤ \( \frac{1}{1 + u^2} \)

Answer 1

Es ist nicht möglich, den Beweis für arctan(x)+arctan(y)=arctan(x+y) zu führen. Ein Gegenbeispiel findest du leicht.

Comments

Da steht aber nicht "gleich", sondern "kleiner oder gleich".

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Ja, danke. Jetzt sehe ich es auch.

Answer 2

Sei \(y>0\) beliebig, aber fest. Ich zeige, dass

\(g(x)=\arctan(x+y)-\arctan(x)-\arctan(y)\leq 0\) ist für alle \(x>0\):

Es gilt \(g'(x)=\frac{1}{1+(x+y)^2}-\frac{1}{1+x^2}\leq 0\),

da \(\arctan(y)\) eine Konstante ist.

Ferner ist \(g(0)=0\). Daher hat man

\(g(x)=g(x)-g(0)=\int_0^x g'(t)dt=x\cdot g'(\xi)\) mit

einem \(\xi \in [0,x]\) (Mittelwertsatz der Integralrechnung).

Es ergibt sich \(g(x)\leq 0\) für alle \(x>0\) und \(y>0\).

Für \(x=0\vee y=0\) gilt dies trivialerweise.

Damit ist \(\arctan(x+y)\leq \arctan(x)+\arctan(y)\) für alle

\(x,y\geq 0\) bewiesen.

Comments

Würde es nicht generell langen zu sagen:

arctan(0) = 0

(arctan(x))' = 1 / (x^2 + 1) ≤ 1

Answer 3

Die zu beweisende Ungleichung

\( \arctan (x+y) \leq \arctan x+\arctan y \)

ist äquivalent zu

\( \arctan (x+y)-\arctan y \leq \arctan x \) und für x>0 äquivalent zu

\( \frac{\arctan (x+y)-\arctan y}{x} \leq \frac{\arctan x}{x} \).

Ich weiß nicht, ob das was bringt. Vom Gefühl her halten ich den Nachweis davon aber erfolgversprechender. Der linke Term beschreibt den mittleren Anstieg der arctan-Funktion im Intervall [y;x+y] ...