Aufgabe:
$$ f:(0,∞)R→R, f(x,y)=x^y $$
Mithilfe des Taylorpolynoms sollen wir $$ 1,05^{1,02} $$ mit einem Fehler von $$ 10{−4} $$ berechnen. Der Hinweis sagt,Es gilt $$ \frac{1}{α!}|Dαf(x,y)|≤10−5 $$ $$ \forall x \in [1,1,05], y \in [1,1,02] und α \in N^2 0 mit |α|=3. $$
Zeigen Sie dies für $$ α=(3,0)$$ und nehmen Sie es für die übrigen α ohne Beweis an.
$$ Tf(x)=1+h_1+0,5 \cdot h_2 \cdot h_1+0,5 \cdot h_1 \cdot h_2+R_n(h)$$
Wenn man den Hinweis zuerst zeigt erhält man für das Restglied die dritte Ableitung nach x von x^y also
16|y⋅(y−1)⋅(y−2)⋅xy−3|(h1,h2) und wenn man für x=ξ1 und y=ξ2 und ξ1∈[1,1,05];ξ2∈[1,1,02] können jetzt die beiden größten werte in das restglied einsetzt 0,003025. Das ist aber nicht 0,003025<10−5 und wie man das mit dem h hinter dem Restglied schreibt und welche Rolle das hier spielt ist aus dem Hinweis auch nicht klar.
Das wäre unsere Frage wie die konkrete Rechnung dann aussieht, weil wir alles schon haben und danach müssen wir für die Aufgabe dann
Tf(x)=1+0,05+120,02⋅0,05+120,05⋅0,02+Rn(h) mit dem Restglied :)
Vielen Dank und viele Grüße
