Hallo,
ich schreibe derzeit eine Arbeit zur Brachistochrone, also dem schnellsten Weg, den z.B. eine Murmel von einem Punkt \( A(0 \mid 0) \) zu einem Punkt \( B\left(x_{b} \mid y_{b}\right) \) nehmen kann. Diese Brachystochrone wird durch folgenden Ausdruck modelliert:
\( T=\frac{1}{\sqrt{2 g}} \int \limits_{0}^{x_{b}} \frac{\sqrt{1+(y \prime(x))^{2}}}{\sqrt{y(x)}} d x \)
( \( T \) ist dabei die Gesamtlaufzeit)
Dieser Ausdruck muss nun minimal werden, damit wir unsere Lösung erhalten. Mein Problem ist folgendes. Beim Bilden des Riemann Integrals:
\( T=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{2 g}} \frac{\sqrt{1+\left(y \prime\left(x_{k}\right)\right)^{2}}}{\sqrt{y\left(x_{k}\right)}} d x=\frac{1}{\sqrt{2 g}} \int \limits_{0}^{x_{b}} \frac{\sqrt{1+(y \prime(x))^{2}}}{\sqrt{y(x)}} d x \)
ergibt sich ein Problem. In \( y=0 \) erhalten wir \( +\infty \), weswegen wir das Integral als uneigentliches Riemann Integral beweisen müssen. Beim Gespräch mit meiner Professorin wurde mir gesagt, ich solle mir also eine Folge \( t_{k} \) wählen und das Cauchy Kriterium nutzen. Um dieses anwenden zu können, müsste ich das Integral aber erstmal auflösen, oder? Wie soll ich das tun, wenn ich in diesem Sinne nicht nach \( x \) integrieren kann?
Ich freue mich über jeden Vorschlag dazu aber auch über jeden neuen Vorschlag. Vielleicht fehlt mir etwas, was ich komplett übersehe.
