Die Preis-Absatz-Funktion p ( x ) gibt den Preis p an, zu dem eine Stückzahl x eines Gutes abgesetzt werden kann.
Für den zu erwartenden Erlös E ( x ) gilt dann also:
E ( x ) = x * p ( x )
Der Break-Even-Punkt (BEP) ist nun diejenige Stückzahl x, bei der für die Gewinnfunktion G ( x ) = E ( x ) - K ( x ) gilt:
G ( x ) = E ( x ) - K ( x ) = 0
<=> E ( x ) = K ( x )
für die also der Erlös E ( x ) gleich den Kosten K ( x ) ist.
Mit E ( X ) = x * p ( x ) ergibt sich:
<=> x * p ( x ) = K ( x )
Gegeben sind nun die Preis-Absatz-Funktion p ( x ) = 40 - 3 x sowie die
Kostenfunktion K ( x ) = 7 x + 18.
Daraus ergibt sich am BEP:
x * ( 40 - 3 x ) = 7 x + 18
Auflösen nach x:
<=> 40 x - 3 x 2 = 7 x + 18
<=> 3 x 2 - 33 x + 18 = 0
<=> x 2 - 11 x + 6 = 0
<=> x 2 - 11 x + 5,5 2 = 5,5 2 - 6 = 24,25
<=> ( x - 5,5 ) 2 = 24,25
<=> x - 5,5 = ± √ 24,25
<=> x = 5,5 ± √ 24,25
=>
x1 ≈ 0,5756
x2 ≈ 10,424
Die kleinere Nullstelle x1 der Gewinnfunktion G ( x ) wird auch als Gewinnschwelle bezeichnet, das ist diejenige Stückzahl, ab der sich ein positiver Gewinn ergibt.
Die größere Nullstelle x2 hingegen wird auch als Gewinngrenze bezeichnet, das ist diejenige Stückzahl, bis zu der sich ein positiver Gewinn ergibt. Der Bereich B positiver Gewinne ist also der Bereich zwischen Gewinnschwelle und Gewinngrenze, vorliegend also:
B = ( x1 , x2 ) = ( 0,5756 , 10,424 )
Hier ein Schaubild, welches die Erlösfunktion x * ( 40 - 3 x ) sowie die
Kostenfunktion K ( x ) = 7 x + 18 darstellt. Die Schnittpunkte der beiden Kurven sind besonders hervorgehoben. Wenn man mit dem Mauszeiger auf einen dieser Punkte zeigt, werden (nach einem kurzen Augenblick) dessen genaue Koordinaten angezeigt.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=40x-3x%C2%B2%3D7x%2B18
