Aufgabe:
Um 8 Uhr morgens wird eine Frau tot in der Kirche aufgefunden, ihre Temperatur wird sofort gemessen und beträgt 29 Grad Celsius. Als der Arzt eine halbe Stunde später eintrifft, ist ihre Temperatur auf 28 Grad gesunken. Die Kirche hat eine konstante Temperatur von 15 Grad Celsius. Wenn wir davon ausgehen, dass die Körpertemperatur eines lebenden Menschen 37 Grad beträgt und die Geschwindigkeit, mit der sie sich nach dem Tod ändert, proportional zur Differenz zur Außentemperatur ist, wann (ganze Stunde) ist die Frau gestorben?
Problem/Ansatz:
\(T'(t) = -k(T(t) - 15) \)(lineare Differentialgleichung oder separierbar)
\( \frac{1}{{T(t) - 15}} \frac{{dT}}{{dt}} = -k \)
\( \frac{1}{{T(t) - 15}} \, dT = -k \, dt \)
Integrieren:
\( \ln |T(t) - 15| = -kt + C \)
...
\( T(t) = e^{-kt}*c+15\)
\(T(0) = 29 ⇒ c = 14\)
\(T(1) = 28 ⇒ k = -ln(\frac{13}{14}) \)
⇒ \( T(t) = e^{ln(\frac{13}{14})t}*14+15 = 37\)
⇔ \(t ≈ -6.1\) halbe Stunden (≈ -3h)
Die Frau ist also ungefähr um 5 Uhr gestorben. Korrekt?
