Zeige: ggT(a,b)·ggT(b,c)·ggT(c,a)= √{a·b·c} .

Question

Zeige oder widerlege: ggT(a,b)·ggT(b,c)·ggT(c,a)=\( \sqrt{a·b·c} \).

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Der Titel sagt etwas anderes aus als der Text.

Answer 1

Zum Widerlegen wähle z.B. a=1, b=2, c=3.

Answer 2

\( \text{ggT(2;2)}\cdot \text{ggT(2;2)}\cdot \text{ggT(2;2)} =8\\ \sqrt{2\cdot2\cdot2}\ne8 \).

Comments

Bei 3 Variablen würde ich spontan von 3 verschiedenen Zahlen ausgehen.

Aber ohne genaue Definition ist wohl alles erlaubt.

Trivial genial.

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Gleiche Variablen in einer Aussage stehen für gleiche Zahlen.

Unterschiedliche Variablen in einer Aussage stehen nicht notwendigerweise für unterschiedliche Zahlen.

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Welchen Sinn macht es 3 Variabeln zu benutzen, die für dieselbe Zahl stehen?

Spielt das irgendwo eine Rolle? Beispiel?

Beim Würfel z.B. nennt man nur eine Kantenlänge a und nicht 3 (a,b,c),

wenn man Volumen berechnen soll.

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Die können den gleichen Wert haben, müssen aber nicht den gleichen Wert haben.

Die Formel fürs Volumen eines Quaders kannst du auch für das Volumen eines Würfelspiel verwenden indem man die Kantenlängen a=b=c einsetzt.

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Spielt das irgendwo eine Rolle? Beispiel?

Definition. Eine Zahl \(n\in \mathbb{N}\setminus\{1\}\) ist genau dann keine Primzahl, wenn es \(p,\ q\in \mathbb{N}\setminus\{n\}\) mit \(p\cdot q = n\) gibt.

Satz. \(n\coloneqq 9\) ist keine Primzahl.

Beweis. Wähle \(p=3\) und \(q=3\). Dann sind \(p,\ q\in \mathbb{N}\setminus\{n\}\) und \(p\cdot q = n\).

Beim Würfel z.B. nennt man nur eine Kantenlänge a und nicht 3 (a,b,c),

Das darfst du, weil alle Kanten die gleiche Länge haben.

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Die Formel fürs Volumen eines Quaders kannst du auch für das Volumen eines Würfelspiel verwenden indem man die Kantenlängen a=b=c einsetzt.

Danke, also um auch Sonderfälle zu erfassen.

So gesehen macht es dann wieder Sinn.