Ist die Vereinigung zweier Untervektorräume wieder ein Untervektorraum?

Question

Wir sollen beweisen oder widerlegen:

Es sei ein Körper K, ein K-Vektorraum V und K-Untervektorräume U₁ und U₂.

Zeige oder widerlege, dass die angegebene Menge ein K-Untervektorraum von V ist:

1) U₁ x U₂

2) U₁ ∪ U₂

In der Vorlesung hatten wir folgende Kriterien zur Bestimmung ob etwas ein Untervektorraum ist: Der Nullvektor muss enthalten sein, er muss über Vektoraddition abgeschlossen sein und er muss über die skalare Multiplikation für jedes a ∈ K abgeschlossen sein.

Für die 1) habe ich folgende Lösung:

Nullvektor enthalten, da nach Definition 0 ∈ U₁; 0 ∈ U₂, und somit auch (0, 0) ∈ U₁ x U₂ gilt.

Abgeschlossenheit bezüglich der Vektoraddition:

Sei v ∈ U₁ x U₂, also v = (x, y) mit x ∈ U₁ und y ∈ U₂ und w ∈ U₁ x U₂, also w = (x', y') mit x' ∈ U₁ und y' ∈ U₂:

v + w = (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y'), wobei x + x' ∈ U₁ und y + y' ∈ U₂ und somit (x + x', y + y') ∈ U₁ x U₂.

Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation:

Sei a ∈ K und v ∈ U₁ x U₂ mit v = (x, y) wobei x ∈ U₁ und y ∈ U₂. Dann:

a * v = a * (x, y) = (a * x, a * y), wobei a * x ∈ U₁ und a * y ∈ U₂ und somit ∈ U₁ x U₂.

Meine erste Frage: Ist das so korrekt?

Meine zweite Frage:

Die Vereinigung macht mir Probleme. Der Schnitt, Addition, Subtraktion etc. haben wir auch widerlegt oder bewiesen, aber bei der Vereinigung könnte ja folgendes passieren:

Es sei x aus U₁ und y aus U₂. Dann sind x und y aus U₁ ∪ U₂, aber wenn man nun x + y rechnet, dann muss das Element ja nicht mehr in einen der beiden Untervektorräume liegen und somit liegt es auch nicht zwingend in der Vereinigung, oder? Wie würde ich sowas widerlegen? Mir fällt nicht mal ein Gegenbeispiel ein.

Answer 1

aber wenn man nun x + y rechnet, dann muss das Element ja nicht mehr in einen der beiden Untervektorräume liegen

Richtig.

Wie würde ich sowas widerlegen?

Indem man geeignete K, V, U₁ und U₂ angibt. Indem man also ein Gegenbeispiel angibt.

Mir fällt nicht mal ein Gegenbeispiel ein.

Tipp. Jede Ursprungsgerade im ℝ³ ist Untervektorraum des ℝ-Vektorraumes ℝ³.

Tipp 2. Die Kooridnatenachsen sind Ursprungsgeraden.

Answer 2

Das ist alles korrekt.
Allerdings solltest Du 1) als erstes ganz klar sagen, ob Du es zeigen oder widerlegen willst. Darum geht es. Einfach rumrechnen... ok, aber mit welchem Ergebnis?

Zu 2): Richtige Überlegung. Gegenbeispiel wählt man so einfach wie möglich: Betrachte zwei verschiedene Geraden in \(\R^2\) durch den Nullpunkt. Dies sind beides Unterräume. Gib die Geraden konkret an (kein Rumgerede!). Die Vereinigung sieht dann graphisch aus wie ein großes schiefes Kreuz. Addiere zwei Elemente aus dieser Vereinigung und zeige, dass diese Summe nicht mehr auf den beiden Geraden liegt. Gib die Elemente konkret(!) an. Man kann hier fast nichts falsch machen, wenn man es konkret macht. Klappt das damit?

Answer 3

Bemerkung zu 2)

Man kann zeigen, dass

\(U_1\cup U_2\) Unterraum \(\iff U_1\subseteq U_2 \; \vee \; U_2\subseteq U_1\).