Untervektorraum von V, Vereinigung, Gegenbeispiel

Question

Aufgabe:

Sei \( V \) ein Vektorraum über einen Körper \( K \) und seien \( U_{1}, U_{2} \subseteq V \) Untervektorräume.
1. Zeigen Sie mithilfe eines Gegenbeispiels, dass \( U_{1} \cup U_{2} \) nicht zwangsläufig ein Untervektorraum von \( V \) ist.

Problem/Ansatz:

Was ist ein Gegenbeispiel für die Vereinigung von zwei Untervektorräumen die nicht die Bedingungen erfüllen?

Answer 1

Zuerst einmal gilt die Äquivalenz, das die Vereinigung zweier linearer Unterräume genau dann ein linearer Unterraum ist, wenn es eine Teilmengenbeziehung zwischen den beiden einzelnen linearen Unterräumen gibt. D.h. wenn U_1 Teilmenge U_2 oder umgekehrt ist.

Das erleichtert die Sache, denn du musst also zwei Unterräume finden, welche keine Teilmengen voneinander sind. D.h. sie müssten beide mindestens ein Element haben, was im anderen nicht liegt.

Comments

U1={(x,0)∣x∈R}
U2={(0,y)∣y∈R}?

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Warum noch ein Fragezeichen?