Eine Zeitungsvertriebsfirma verteilt die Jugendzeitschriften A, B und C...

Question

Eine Zeitungsvertriebsfirma vertreibt die Jugendzeitschriften A, B und C an ihre Kunden. Ein Verlag gibt eine neue Jugendzeitschrift D heraus, die diese Firma ebenfalls vertreiben will. Durch eine Marktanalyse wurde folgendes Käuferverhalten festgestellt:

\( 45 \% \) der Kunden kaufen Zeitschrift A, \( 35 \% \) Zeitschrift B und \( 20 \% \) Zeitschrift C. Die neue Zeitschrift D wird gekauft von \( 10 \% \) derjenigen, die auch Zeitschrift A, von \( 5 \% \) derjenigen, die auch B und von \( 15 \% \) derjenigen, die auch \( \mathrm{C} \) lesen.

1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde der Vertriebsfirma die Zeitschrift D kauft.

2. Die Firma führt eine Befragung unter zehn ihrer Kunden durch.

2.1 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

M: Mehr als acht Kunden lesen die Zeitschrift A. N: Höchstens zwei Kunden lesen die neue Zeitschrift D.

2.2 Wie viele Kunden müsste man mindestens befragen, um mit einer Wahrscheinlich-keit von mehr als 0,99 mindestens einen Leser der Zeitschrift C zu entdecken?

3. Ein Händler bietet in seinem Zeitungsstand die Jugendzeitschrift D an, die wöchentlich erscheint. Durch Beobachtung der Kundennachfrage nach dieser Zeitschrift hat er folgende Tabelle erstellt:

Anzahl \( \mathrm{x}_{\mathrm{i}} \) der Nachfragen pro Woche	0	1	2	3	4	5	6 und mehr
Wahrscheinlichkeit \( \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right) \)	0,1	0,15	0,25	0,2	0,15	0,1	0,05

Der Händler bezieht wöchentlich fünf Exemplare; der Einkaufspreis beträgt \( 1,60 \epsilon \) pro Stück, der Verkaufspreis \( 2,90 \epsilon \). Unverkaufte Exemplare können nicht zurückgegeben werden.

3.1 Untersuchen Sie, ob sich der Verkauf der Zeitschrift D für den Händler unter den genannten Voraussetzungen auf lange Sicht rentiert.

3.2 Angenommen, Sie wären der Zeitungshändler. Beschreiben Sie, wie Sie vorgehen würden, um auf der Grundlage der Kundennachfrage für die Zeitschrift D einen maximalen Gewinn auf lange Sicht zu erzielen. (keine Berechnungen!).

Ansatz/Problem:

1. 9,25%, Stimmt das?

2.1
P(M) = P(X=9) + P(X=10) = 0,45%
P(N) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 94,2%

2.2.
P(mind. ein Leser von C) >= 0,99
1 - 0,8^n >= 0,99
-0,8^n >= -0,01  | : (-1)
0,8^n <= 0,01  | ln
n*ln(0,8) <= ln(0,01)  | : ln(0,8)
n >= 20,64
→ Mind. 21 Kunden müsste man befragen!?

Comments

Angabe ohne Gewähr, deshalb als Kommentar.

Als Nicht-Stochastiker würde ich so rechnen:

0,45*0,1 + 0,35*0,05 + 0,2*0,15 = 0,0925 = 9,25 %

Was ich gemacht habe, ist klar oder? Scheint logisch und das Ergebnis ist auch "schön".

Mit also einer Wahrscheinlichkeit von 9,25% wird Zeitschrift D gekauft.

---

Völlig richtig gerechnet. Genau so würde ich das auch machen.

Wenn du das jetzt noch als richtige Antwort schreibst wäre das perfekt.

Answer 1

Hi,

mit der Bestätigung von Mathecoach traue ich mich das nun zu posten ;).

 

Als Nicht-Stochastiker würde ich so rechnen:


0,45*0,1 + 0,35*0,05 + 0,2*0,15 = 0,0925 = 9,25 %


Mit also einer Wahrscheinlichkeit von 9,25% wird Zeitschrift D gekauft.


Grüße

Answer 2

Bei mir sieht das wie folgt aus:

1.
\( P=0.45 \cdot 0.1+0.35 \cdot 0.05+0.2 \cdot 0.15=37 / 400=0.0925 \)

2.1.
\( \mathrm{P}(\mathrm{M})=\sum\left(\operatorname{COMB}(10, \mathrm{x}) \cdot 0.45^{x} \cdot(1-0.45)^{10-\mathrm{x}}, ~ \mathrm{x}, ~ 9, ~ 10\right)=0.004502 \)
\( \mathrm{P}(\mathrm{N})=\sum\left(\operatorname{COMB}(10, \mathrm{x}) \cdot 0.0925^{\mathrm{x}} \cdot(1-0.0925)^{10-\mathrm{x}}, ~ \mathrm{x}, ~ 0, ~ 2\right)=0.9421 \)

2.2.
\( 1-(1-0.0925)^{n} > 0.99 \rightarrow n>47.45 \rightarrow n \geq 48 \)

3.1
Erwartungswert des Gewinns
\( G(5)=2.9 \cdot(0 \cdot 0.1+1 \cdot 0.15+2 \cdot 0.25+3 \cdot 0.2+4 \cdot 0.15+5 \cdot 0.15)-1.6 \cdot 5=-0.46 \)

Damit ist auf lange Sicht kein Gewinn zu erzielen.

3.2.
Die Kalkulationen über Ein- und Ausgaben ist für alle Zeitschrifteneinkaufswerte von 1 bis 4 zu wiederholen. Dort wo die Ausgaben minus der Einnahmen maximal wird hat man einen maximalen Gewinn.

\( G(4)=2.9 \cdot(0 \cdot 0.1+1 \cdot 0.15+2 \cdot 0.25+3 \cdot 0.2+4 \cdot 0.3)-1.6 \cdot 4=0.705 \)
\( G(3)=2.9 \cdot(0 \cdot 0.1+1 \cdot 0.15+2 \cdot 0.25+3 \cdot 0.5)-1.6 \cdot 3=1.435 \)
\( G(2)=2.9 \cdot(0 \cdot 0.1+1 \cdot 0.15+2 \cdot 0.75)-1.6 \cdot 2=1.585 \)
\( G(1)=2.9 \cdot(0 \cdot 0.1+1 \cdot 0.9)-1.6 \cdot 1=1.01 \)

Höchsten Gewinn hat man also, wenn man 2 Zeitschriften von D kauft.