Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P(Y ≤ 0) und das 0.2-Quantil von Y.

Question

Aufgabe:

Sei X eine N(1,4)-verteilte Zufallsvariable,

c) Due Zufallsvariable Y sei definiert durch Y=2X-1 . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P(Y ≤ 0) und das 0.2-Quantil von Y.

Problem/Ansatz:

Wir nehmen den Satz aus dem Skript: Z=aX+b = N(a*mü+b,a²*sigma²)

Nun haben wir schonmal N(1,16), soweit alles richtig.

Dann:

P(Y ≤ 0) = Φ(-1/4) = 1 - Φ(1/4) = 1 - 0,5987 . Ist das richtig?

Beim 0,2 Quantil: In der Quantil tabelle sind nur Werte von 0.8 bis 1. Wie gehe ich hier vor?

Answer 1

\(P(Y\leq 0)=1-\Phi(1/4)\approx 0.4\). Stimmt.

Für das Quantil schau dir mal das Bild an:

Hinweis: Es gilt \(Q_{1-\alpha}=-Q_{\alpha}\) (Spiegeln an Symmetrieachse \(\mu=0\))

Um das \(0.2\)-Quantil von \(Y\sim \mathcal{N}(1,16)\) zu bestimmen, suchst du das kleinste \(x\), so dass \(P(Y\leq x)\geq 0.2\). Das heißt \(P(Y^*\leq (x-1)/4)=\Phi((x-1)/4)\geq 0.2\). Um nun \(\Phi^{-1}(0.2)\) zu bestimmen, siehe den Hinweis: \(\Phi^{-1}(0.2)=-\Phi^{-1}(0.8)=-0.84\).

Dann gilt:$$\frac{x-1}{4}\geq -0.84 \Rightarrow x\geq -2.36$$ Das \(0.2\)-Quantil von \(Y\) ist also \(-2.36\), das kleinste unter den betreffenden \(x\).