Wahrscheinlichkeit mit Ziffern

Question

Ich hoffe, dass ich bei der Aufgabe a richtig gemacht habe. 

Bei der Aufgabe von b komme ich nicht mehr weiter.

 

Aufgabe:

a) Aus 10 Ziffern (0,1,....,9; die Ziffern dürfen mehrfach verwendet werden) soll zufällig eine dreistellige Zahl gebildet werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit entsteht eine Zahl größer als 234?

n = 10³ =1000

1000 – 235 = 765

765/1000 = 0,765 = 76,5%

b) Aufgabe wie oben, aber es dürfen nur die Ziffern 1,2,3,4,5 verwendet werden (auch mehrfach).

n = 5³ = 125 

... wie komme ich weiter?

Answer 1

 

Aufgabe a) hast Du perfekt gelöst - prima!

 

Aufgabe b)

Es gibt 5³ = 125 mögliche Kombinationen, auch das ist korrekt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass an 1. Stelle eine 1 steht und die Zahl damit kleiner als 234 ist, beträgt 1/5.

Die W., dass an 1. Stelle eine 3 steht und die Zahl damit größer ist als 234, beträgt ebenfalls 1/5.

Ebenso die Wahrscheinlichkeiten für eine 4 oder eine 5 an erster Stelle.

 

Kritisch ist nur der Fall, dass an 1. Stelle eine 2 steht (W. natürlich auch 1/5).

Hier muss man jetzt folgende Fälle unterscheiden:

P(1 an 2. Stelle) = 1/5 => Zahl kleiner als 234

P(2 an 2. Stelle) = 1/5 => Zahl kleiner als 234

P(3 an 2. Stelle) = 1/5

P(4 an 2. Stelle) = 1/5 => Zahl größer als 234

P(5 an 2. Stelle) = 1/5 => Zahl größer als 234

Für 3 an 2. Stelle wieder Fallunterscheidung:

P(1 an 3. Stelle) = 1/5 => Zahl kleiner als 234

P(2 an 3. Stelle) = 1/5 => Zahl kleiner als 234

P(3 an 3. Stelle) = 1/5 => Zahl kleiner als 234

P(4 an 3. Stelle) = 1/5 => Zahl = 234

P(5 an 3. Stelle) = 1/5 => Zahl größer als 234

 

Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sich eine Zahl größer als 234 ergibt:

1/5 (1. Stelle 3) + 1/5 (1. Stelle 4) + 1/5 (1. Stelle 5) +

1/5 (1. Stelle 2) * 1/5 (2. Stelle 4) + 1/5 (1. Stelle 2) * 1/5 (2. Stelle 5) +

1/5 (1. Stelle 2) * 1/5 (2. Stelle 3) * 1/5 (3. Stelle 5)

= 0,688 = 68,8%

(86 Zahlen von den möglichen 125 sind damit größer als 234.)

 

Bei Fehlern oder Rückfragen einfach nochmal melden :-)

 

Besten Gruß

Comments

Entschuldige, aber ich begreife leider nicht wie sie gerechnet haben:

1/5 (1. Stelle 3) + 1/5 (1. Stelle 4) + 1/5 (1. Stelle 5) +

1/5 (1. Stelle 2) * 1/5 (2. Stelle 4) + 1/5 (1. Stelle 2) * 1/5 (2. Stelle 5) +

1/5 (1. Stelle 2) * 1/5 (2. Stelle 3) * 1/5 (3. Stelle 5)

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Wenn an der ersten Stelle der Zahl eine 3 steht, dann kann die gesamte Zahl nur größer als 234 sein.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an der ersten Stelle eine 3 steht, beträgt 1/5, weil wir ja insgesamt 5 Ziffern von 1 bis 5 zur Verfügung haben. Jetzt wissen wir also schon, dass zumindest 1/5 aller dreiziffrigen Zahlen größer als 234 sind.

Genau der gleichen Logik folgt der Rest der 1. Zeile, womit wir auf 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5 = 6/10 kommen.

Es müssen also mindestens 60% der möglichen Zahlen größer als 234 sein.

 

Nun gibt es aber auch noch einige Zahlen, die an der ersten Stelle eine 2 haben (auch hier beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/5). Wenn danach eine 4 oder 5 folgt (Wahrscheinlichkeit jeweils 1/5), ist die entstehende Zahl auch größer als 234. Weil aber jetzt die 1. Ziffer eine 2 sein soll und die zweite eine 4 oder 5, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten jeweils miteinander multiplizieren (denke an einen Wahrscheinlichkeitsbaum): 1/5 * 1/5 (für 24x) + 1/5 * 1/5 (für25x). Es kommen also zu den 60% von oben nochmal 1/25 + 1/25 = 2/25 = 8/100 = 8% hinzu. Es müssen also mindestens 68% der möglichen Zahlen größer als 234 sein.

 

Und schließlich gibt es noch den Fall, dass die 1. Ziffer eine 2 ist und die 2. Ziffer eine 3 (Wahrscheinlichkeit = 1/5 * 1/5). Dann muss die 3. Ziffer eine 5 sein, damit wir eine Zahl erhalten, die größer als 234 ist. Da die Wahrscheinlichkeit für eine 5 an 3. Stelle = 1/5 ist, müssen wir also hier rechnen:

1/5 * 1/5 * 1/5 = 1/125 = 0,008 = 0,8%

 

Insgesamt:

60% + 8% + 0,8% = 68,8%

Im folgenden Baum, den Du von links nach rechts liest, findest Du diese Wahrscheinlichkeiten wieder:

Addiere alle ganz rechts auf und Du kommst auf 68,8%

Besten Gruß

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P.S.

Übrigens sind nur folgende 39 Zahlen kleiner oder gleich 234:

Die jeweils 5, die mit 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22 anfangen, also 35.

Und dazu die 231, 232, 233 und 234.

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Sie schrieben, dass die zweite Ziffer eine 4 oder 5 sein sollte? Meinen sie etwas, dass es 3 und 4 sein sollte? Da die dritte Ziffer eigentlich 5 sein sollte.

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P.S.

woher wissen Sie auch, dass die Zahlen insgesamt 39 gibt?

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Angenommen, die erste Ziffer ist eine 2: Dann ist die entstehende Zahl auf jeden Fall größer als 234, wenn die zweite Ziffer eine 4 ist (241, 242, 243, 244, 245) oder eine 5 (251, 252, 253, 254, 255).

Wenn die erste Ziffer eine 2 ist und die zweite Ziffer eine 3, dann müssen wir unterscheiden zwischen

231, 232, 233, 234 und 235. Davon ist nur die Zahl 235 größer als 234.

Schau Dir doch bitte nochmal ganz genau das Baumdiagramm an, das ich beigefügt habe - daraus sollte alles klar werden.


Ich weiß, dass 39 Zahlen kleiner oder gleich 234 sind, weil ich ausgerechnet habe, dass 86 von den 125 möglichen Zahlen größer als 234 sind {125 - 86 = 39} :-)

Dies sind die 39 Zahlen.

111

112

113

114

115


121

122

123

124

125


131

132

133

134

135


141

142

143

144

145


151

152

153

154

155


211

212

213

214

215


221

222

223

224

225


231

232

233

234

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Jetzt verstehe ich komplett .. DANKE für die tolle Mühe ..

Das ist die beste Antwort :-) ..

Schönen Abend noch :-) ..

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Freut mich, wenn ich helfen konnte und Du es verstanden hast!

Auch Dir noch einen schönen Abend :-)