Bestimmen Sie bei n Wiederholungen die Wahrscheinlichkeit, Binomialverteilung

Question

Aufgabe:

Ein Zufallsexperiment werde mehrmals hintereinander durchgeführt, wobei die Wiederholungen stochastisch unabhängig seien. Jede Durchführung dieses Zufallsexperiments liefert als Ergebnis mit Wahrscheinlichkeit p Erfolg und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p Misserfolg für ein p ∈ ]0, 1[. Die Zufallsvariable X : Ω → R beschreibe
die Anzahl der Erfolge bei n Wiederholungen des Zufallsexperiments.

a) Geben sie eine geeignete Verteilung für die Zufallsvariable X für den Fall n = 1
an.

b) Geben sie eine geeignete Verteilung für die Zufallsvariable X für den Fall n > 1
an.

c) Bestimmen Sie bei n Wiederholungen die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens
einmal Misserfolg eintritt.

d) Bestimmen Sie bei n Wiederholungen die Wahrscheinlichkeit, dass niemals zweimal hintereinander Erfolg oder Misserfolg eintritt.

Problem/Ansatz:

a) Diskrete Gleichverteilung

b) Binomialverteilung

c) Wie mach ich das hier? Also wie soll ich die Binomialverteilungsformel hier anwenden?

d) Hier weiß ich leider auch nicht so bescheid ..

Answer 1

a) Geben sie eine geeignete Verteilung für die Zufallsvariable X für den Fall n = 1 an.

https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Verteilung

b) Geben sie eine geeignete Verteilung für die Zufallsvariable X für den Fall n > 1 an.

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung

c) Bestimmen Sie bei n Wiederholungen die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Misserfolg eintritt.

P(mind. ein Misserfolg) = 1 - p^n

d) Bestimmen Sie bei n Wiederholungen die Wahrscheinlichkeit, dass niemals zweimal hintereinander Erfolg oder Misserfolg eintritt.

Für n gerade

P = 2·(p·(1 - p))^(n/2)

für n ungerade

P = (p·(1 - p))^((n - 1)/2)·(p + (1 - p))

Comments

Vielen Dank!

Wie genau kommt man auf P(mind. ein Misserfolg) = 1 - p^n ?

Ist das gekürzt.. kann man das in der Binomialverteilungs-Formel einmal darstellen?

---

Mind. ein Misserfolg ist das Gegenteil für alles Erfolge und wird über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet,

P(X >= 1) = 1 - P(X = 0)

---

1 - ( C(n, 0) * p⁰ * (1-p)^n-0 )

= 1- (1-p)ⁿ

!= 1 - pⁿ

Sorry falls ich was banales übersehe, aber wo liegt der Fehler bei mir in der Herleitung von 1 - pⁿ ? Ich komme da nicht ganz drauf

---

Also ich verstehe schon wieso 1 - pⁿ  = "Mind. ein Misserfolg ist das Gegenteil für alles Erfolge"

Aber wieso geht meine Herleitung über die Binomialverteilung nicht? Ich dachte ich könnte die benutzen

---

Oh ich sehe meinen Fehler. Statt k=0 muss ich k=n setzen, da alles Erfolge sein sollen.

Müsste es dann nicht heißen P(X >= 1) = 1 - P(X = k) , wobei k = n ?

---

Dann würde auch:

1 - ( C(n, k) * p^k * (1-p)^n-k )

= 1- p^k

Raus kommen