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Aufgabe:

Ermittle eine Parameterdarstellung der Ebene E mit der Gleichung x+6y-z=2


Problem/Ansatz:

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten - Z.B X= (2|0|0) + u.(-6|1|0) + v.(1|0|1). Wie komme ich dorthin? Bitte um Hilfe

CHRISTIAN

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Eine Gleichung mit 3 Unbekannten ist unterbestimmt.

Man kann nur Lösungen in Abhängigkeit der Variablen untereinander angeben

oder Variablen frei wählen.

4 Antworten

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Stelle die Ebenengleichung nach \(x\) um:$$\pink{x=2-6y+z}$$und schreibe die Lösung hin:

$$\begin{pmatrix}\pink x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\pink{2-6y+z}\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-6\\1\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$$

Wie du selbst schreibst, ist die Darstellung nicht eindeutig. Du hättest die Ebenengleichung z.B. auch nach \(z\) umstellen können und würdest damit eine andere Parameterdarstellung erhalten.

Avatar von 152 k 🚀

Sehr schön dargestellter Lösungsweg !

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Lege in x+6y-z=2  x und y selbständig fest und bestimme z. Finde so drei verschiedene Punkte A, B und C mit der Ortsvektoren \( \vec{a} \) , \( \vec{b} \)  und \( \vec{c} \) . Dann ist z.B.

 \( \vec{x} \)=\( \vec{a} \)+r·(\( \vec{a} \)-\( \vec{b} \))+s·(\( \vec{a} \)-\( \vec{c} \)) eine solche Ebenengleichung.

Avatar von 123 k 🚀

Besten Dank für die Antwort.

Laut Lehrbuch sind die Parameter durch Berechnung mit der Hilfe von Richtungs- und Normalvektoren zur Ebene zu lösen. Daran bin ich gescheitert. Aber es geht auch rechnen wie ich sehe.

Danke nochmal und ein schönes Wochenende

Ja, das Lehrbuch hat recht. So geht es auch. Offensichtlich führen viele Wege nach Rom.

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1. Lies einfach drei Punkte ab, die die Gleichung erfüllen

x + 6y - z = 2

(2 | 0 | 0) ; (0 | 1/3 | 0) ; (0 | 0 | -2)

2. Stelle dann eine Parameterform über 3 Punkte auf.

X = [2, 0, 0] + r * [-2, 1/3, 0] + s * [-2, 0, -2]

3. Vereinfache bei Bedarf

X = [2, 0, 0] + r * [6, -1, 0] + s * [1, 0, 1]

Avatar von 488 k 🚀

Danke für die Hilfe und einen schönen Samstag

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Hallo,

dass der Punkt (2|0|0) die Gleichung erfüllt, kannst du durch einsetzen feststellen.

Die Richtungsvektoren verlaufen orthogonal zum Normalenvektor n=[1;6;-1]. Du brauchst also zwei linear unabhängige Vektoren, die mit n skalar multipliziert Null ergeben.

1•x+6•y-1•z=0

Z.B. [-6;1;0] und [1;0;1].

:-)

Avatar von 47 k

Das ist des Rätsels Lösung, vielen Dank

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