Wie hoch ist die Fichte nach 60 Jahren

Question

Hallo! Ich verstehe leider diese Aufgabe nicht: Die Wachstumsgeschwindigkeit (in m/Jahr) einer Fichte wird in den ersten 60 Jahren näherungsweise beschrieben durch w(t)=0,01t + 0,1 (t in Jahren).
a) Wie hoch ist die Fichte nach 60 Jahren?
b) In welchem Alter erreicht die Fichte eine Höhe von 12m?
c) Recherchieren Sie im Internet den Wachstumsverlauf von Fichten. Halten Sie das in der Aufgabe vorgegebene Modell für realistisch? Begründen Sie.

Problem/Ansatz: Also mein Problem ist, dass ich bei der a für w(t) einfach 60 eingesetzt habe, also:

w(60)=0,01 x 60 + 0,1

dann kommt w(t) = 0,7 m raus, kann aber ja irgendwie nicht stimmen.

Bei der b hatte ich einfach w(t) mit 12 gleichgesetzt, aber da kam auch 1190 Jahre raus.

Ich habe auch die Lösung zu der Aufgabe von meinem Lehrer bereitgestellt bekommen jedoch verstehe ich nicht wie man darauf kommt.

Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen! Also warum kommt bei der a ein ^2 noch hin ? Und wie kommt man bei der b auf die 40 Jahre ?

Danke !!!

Text erkannt:

12
a) Die Gesamthöhe der Fichte wird beschrieben durch
\( \begin{array}{l} W(t)=0,005 t^{2}+0,1 t . \\ W(60)=24(m) \end{array} \)
b) nach \( \mathbf{4 0} \) Jahren
c) Das vorgegebene Modell ist stark vereinfacht. In Wirklichkeit ist die Wachstumsgeschwindigkeit nicht linear, sondem erreicht je nach Wachstumsbedingungen beispielsweise nach 40 Jahren ein Maximum mit ca. \( 45 \frac{\mathrm{om}}{\mathrm{jar}} \). Nach 60 Jahren ist die Wachstumsgeschwindigkeit im Durchschnitt wieder auf \( 30 \frac{\mathrm{om}}{\mathrm{wir}} \) abgesunken und nicht, wie im verwendeten Modell, auf \( 70 \frac{\mathrm{om}}{\text { jar }} \) angestiegen.

Answer 1

Du musst die Wachstumsgeschwindigkeit von 0 bis 60 integrieren, um die Höhe in 60 Jahren zu erhalten.

Answer 2

a)

Da die Wachstumsgeschwindigkeit die Ableitung der Höhenfunktion ist, muss man die Wachstumsgeschwindigkeitsfunktion integrieren

w(t) = 0.01·t + 0.1
h(t) = W(t) = 0.005·t^2 + 0.1·t

h(60) = 0.005·60^2 + 0.1·60 = 24 m

b)

h(t) = 0.005·t^2 + 0.1·t = 12 --> t = 40 Jahre (∨ t = -60)

c)

Fichten können bis zu 600 Jahre alt und 60 m hoch werden. Nach dem Modell wäre die Fichte nach 150 Jahren allerdings schon wesentlich größer. Das Modell ist also nicht realistisch. Auch das die Wachstumsgeschwindigkeit linear zunimmt ist unrealistisch.

~plot~ 0.005·x^2+0.1·x;60;[[0|120|0|70]] ~plot~

Comments

Wie jede blonde Kellnerin weiß

(http://num.math.uni-goettingen.de/~skraemer/witze.html )

ist die Stammfunktion in Wirklichkeit h(t) = W(t) = 0.005·t² + 0.1·t +h_0.

Lediglich das Fehlen diese Angabe im Aufgabentext gibt zu der Vermutung Anlass, dass h_0 = 0 gilt.

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Die Größe des Samens einer Fichte ist bei Aussaht vernachlässigbar klein. Man kann die Größe auch mit etwa 0.004 m annehmen. Das ändert aber kaum etwas in der Beantwortung der Fragen.