Qualitätsentwicklung von Mathematikaufgaben

Question

Das ‚Institut zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen‘ der Kultusministerkonferenz veröffentlicht insbesondere diese Aufgabe mit dem Hinweis auf einen CAS-Einsatz [17]:

Aufgabe
Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen
f_a(x)= - \( \frac{x^3}{3a^2} \) +\( \frac{5x}{4} \) +2 mit a ∈ℝ⁺. Die zugehörigen Graphen werden mit G_a bezeichnet.
a) Der Parameter a durchläuft die Werte von 0,5 bis 5. Beschreiben Sie, wie sich dabei die Lage der Extrempunkte von G_a ändert.
b) Weisen Sie nach, dass alle Graphen G_a einen gemeinsamen Punkt und in diesem Punkt die gleiche Steigung haben. Geben Sie die Gleichung der Tangente an die Graphen in diesem Punkt an.
c) Bestimmen Sie die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von G_a (zur Kontrolle sind die Koordinaten des Tiefpunkts gegeben).
d) Untersuchen Sie mithilfe der Lage des Tiefpunkts von G_a , wie die Anzahl der Nullstellen von f_a vom Wert des Parameters a abhängt.
e) Zeichnen Sie den Graphen G_3,6 für −8≤ x ≤ 8 in ein Koordinatensystem ein.
f) Es gibt zwei Strecken der Länge 2, die parallel zur x-Achse verlaufen und deren jeweilige Endpunkte auf G_3,6 liegen. Zeichnen Sie diese beiden Strecken in Ihre Zeichnung aus Teilaufgabe e ein. Beschreiben Sie, wie die x-Koordinaten der Endpunkte beider Strecken rechnerisch ermittelt werden können.

Die Aufgabe erfordert zunächst das hilfsmittelfreie Denken. Ohnehin hilft der CAS-Einsatz hier nur, um den Zeitaufwand für das Erstellen von Graphen in angemessenen Grenzen zu halten.

Alternativ wird folgende Variation der Aufgabe vorgeschlagen:

Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen
f_a(x)= - \( \frac{x^3}{3a^2} \) +\( \frac{5x}{4} \) +2 mit a ∈ℝ⁺. Die zugehörigen Graphen werden mit G_a bezeichnet.
a) Beschreiben Sie, die gemeinsamen Eigenschaften des Verlaufs aller Graphen G_a ohne Einsatz eines digitalen Werkzeugs.
b) Bestimmen Sie die Ortslinie aller Extrempunkte der Graphen G_a hilfsmittelfrei durch geschickte Rechnung.
c) Untersuchen Sie, wie die Anzahl der Nullstellen von f_a vom Wert des Parameters a abhängt.
d) Zeichnen Sie den Graphen G_a mit a=0,96ˑ√5 für −8≤ x ≤ 8 in ein Koordinatensystem ein.
e) Es gibt zwei Strecken der Länge 2, die parallel zur x-Achse verlaufen und deren jeweilige Endpunkte auf G_0,96ˑ√5 liegen. Zeichnen Sie diese beiden Strecken in Ihre Zeichnung aus Teilaufgabe d ein. Beschreiben Sie, wie die x-Koordinaten der Endpunkte beider Strecken rechnerisch ermittelt werden können.

Wo liegt jetzt die Qualitätsentwicklung des Mathematikunterrichtes?