Grenzwert n im Exponent

Question

Aufgabe:

$$\frac{9^{n-1}*(\frac{5^{n}}{9^{n+1}}-\frac{9^{n}}{9^{n+1}})}{9^{n-1}*(\frac{5^{n+1}}{9^{n+1}}-1)}$$

Grenzwert berechnen

Problem/Ansatz:

nun kann ich die $$ 9^{n+1}$$ kürzen und mithilfe der potenzgesetze weiter vereinfachen :

$$\frac{(\frac{5^{n}}{9^{n+1}}-\frac{9^{n}}{9^{n+1}})}{\frac{5}{9}^{n+1}-1}$$

aber wie vereinfache ich den Zähler?

Answer 1

$$\frac{9^{n - 1} \cdot (\frac{5^n}{9^{n + 1}} - \frac{9^n}{9^{n + 1}})}{9^{n - 1} \cdot (\frac{5^{n + 1}}{9^{n + 1}} - 1)} \newline \text{Kürze mit: } 9^{n - 1} \newline = \frac{\frac{5^n}{9^{n + 1}} - \frac{9^n}{9^{n + 1}}}{\frac{5^{n + 1}}{9^{n + 1}} - 1} \newline \text{Erweitere mit: } 9^{n + 1} \newline = \frac{5^n - 9^n}{5^{n + 1} - 9^{n + 1}} \newline = \frac{5^n - 9^n}{5 \cdot 5^n - 9 \cdot 9^n} \newline \text{Kürze mit: } 9^n \newline = \frac{\frac{5}{9}^n - 1}{5 \cdot \frac{5}{9}^n - 9} \newline \text{Für: }  n \rightarrow \infty \newline = \frac{0 - 1}{5 \cdot 0 - 9} \newline = \frac{1}{9}$$