Wie verhalten sich die Volumina der jeweils entstehenden Rotationskörper zueinander?

Question

Der Graph im angegebenen Intervall definierten Funktion f rotiert einmal um die x-Achse und einmal um die y-Achse. Wie verhalten sich die Volumina der jeweils entstehenden Rotationskörper zueinander?

f(x)=x^2 im Intervall [0;2]

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das lösen? Das eine Volumen habe ich als 32pi/5 und das andere als 2pi herausbekommen… das Verhältnis sollte 4:5 sein.

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https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/rotationsvolumen-volumen-rotationskoerper.html

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion \(y=x^2\) mit \(x\in [0;2]\) rotiert um die x-Achse:$$V_x=\int\limits_0^2\pi y^2\,dx=\int\limits_0^2\pi x^4=\left[\pi\frac{x^5}{5}\right]_0^2=\frac{32}{5}\pi$$

Die Funktion \(y=x^2\) mit \(x\in[0;2]\) rotiert um die y-Achse:$$V_y=\int\limits_{y(0)}^{y(2)}\pi x^2\,dy=\int\limits_{0}^{4}\pi y\,dy=\left[\pi\frac{y^2}{2}\right]_0^4=8\pi$$

Das Verhältnis ist nun:$$\frac{V_x}{V_y}=\frac{\frac{32}{5}\pi}{8\pi}=\frac45$$

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Vielen vielen Dank!!!

Answer 2

Weg zum Volumen bei Rotation um die y-Achse über die Umkehrfunktion

\(y=x^2\)     \(y(0)=\red{0}\)   \(y(2)=\red{4}\)

Umkehrfunktion:

\(x=+-\sqrt{y}\)

\(y=+\sqrt{x}\)  Der -Wert ist nicht nötig:

Nun Rotieren um die x-Achse:

\(V_x=π\cdot\int\limits_{\red{0}}^{\red{4}} y^{2}dx=π\cdot\int\limits_{\red{0}}^{\red{4}} xdx=π\cdot\frac{1}{2}x^2=8π\)

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Danke schön!!