Bei der Addition,... von trigonometrischen Funktionen auf die Symmetrie prüfen

Question

Ich bin bei dem Thema trigonometrische Funktionen. Dabei soll ich jetzt auf die Symmetrie überprüfen.

Ich habe hier jetzt keine direkte Aufgabe, kann aber mal ein Beispiel oder am besten drei machen.

f(x) = g(x) + h(x), dabei gilt g(x) = e^x und h(x) = x-0,5. Dabei soll auf die Symmetrie von f(x) geprüft werden.

Ich habe aber nicht nur Probleme mit der Addition von zwei Funktionen und dann auf die Überprüfung von der Symmetrie, sondern auch bei der Subtraktion und der Multiplikation von zwei Funktionen.

f(x) = g(x) - h(x), dabei gilt g(x) = x und h(x) = 1/x² 

oder

f(x) = g(x) x h(x), dabei gilt g(x) = x und h(x) = cos(x)

Auch bei den beiden soll auf die Symmetrie von f(x) geprüft werden.

Ich weiß, dass für das Überprüfen einfach mal -x eingesetzt werden sollte, jedoch komme ich von beispielsweise

f(-x) = g(-x + h(-x) nicht weiter.

Answer 1

f(x) = g(x) + h(x), dabei gilt g(x) = e^ x und h(x) = x-0,5
f ( x ) = e^ x + ( x-0,5)
f ( x ) = e^ x + x - 0,5
f (-x ) = e^(-x) - x - 0.5
f ( x ) ist ungleich f(-x)
Keine Achsensymmetrie

- f (-x ) = - [e^(-x) - x - 0.5]
- f (-x ) = - e^(-x) + x + 0.5
f ( x ) ist ungleich - f (-x )
Keine Punktsymmetrie

Meinst du so ?

Answer 2

Achsensymmetrie:

f(x) = f(-x)

Punktsymmetrie:

f(-x) = -f(x)

Answer 3

Die Gleichung \(f(-x) = g(-x) + h(-x)\) ist normalerweise der Zeitpunkt, zu dem man die Definitionen der Funktionen \(g\) und \(h\) verwendet, also zum Beispiel

        \(f(-x) = e^{-x} + (-x-0,5)\)

Mit ein wenig Erfahrung sieht man sofort, dass die Funktion \(f\) weder gerade noch ungerade ist. Also sucht man sich einen Wert für \(x\), der das beweißt.

        \(\begin{aligned} &  & x & =1\\ & \implies & f(x) & =e+0,5\in\left(2,3\right)\\ &  & \wedge\ f(-x) & =e^{-x}-1,5\in\left(-1,-2\right) \end{aligned}\)

Ganz praktisch ist es, sich ein paar Regeln herzuleiten. Zum Beispiel

1. Die Summe zweier gerader Funktionen ist gerade.
2. Die Summe zweier ungerader Funktionen ist ungerade.
3. Die Summe einer geraden Funktion und einer Funktion, die weder gerade noch ungerade ist, ist nicht gerade.
4. Die Summe einer ungeraden Funktion und einer Funktion, die weder gerade noch ungerade ist, ist nicht ungerade.
   
5. Das Produkt zweier gerader Funktionen ist gerade.
6. Das Produkt zweier ungerader Funktionen ist gerade.
7. Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Funktion ist ungerade.
8. Das Produkt einer geraden Funktion und einer Funktion, die weder gerade noch ungerade ist, ist nicht gerade.
9. Das Produkt einer ungeraden Funktion und einer Funktion, die weder gerade noch ungerade ist, ist nicht ungerade.
   
   

Beweis zu 1. Sind \(g\) und \(h\) gerade, dann gilt

        \(\begin{aligned} f(x) & =g(x)+h(x)\\ \implies f(-x) & =g(-x)+h(-x)\\ & =g(x)+h(x)\\ & =f(x) \end{aligned}\)

Außerdem noch ein

Satz. Jede Funktion \(f\) kann als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion dargestellt werden.

Beweis. \(g(x) = \frac{1}{2}(f(x) + f(-x))\) ist gerade, \(u(x) = \frac{1}{2}(f(x) - f(-x))\) ist ungerade und es gilt \(f = g+u\).

sondern auch bei der Subtraktion

Subtraktion ist Addition der Gegenzahl:

        \(a-b = a + (-b)\).

Die Gegenzahl bekommst du durch Multiplikation mit -1:

  \(a + (-1 \cdot b)\).

Damit brauchst du dir in Zukunft nie wieder Gedanken machen, welche Regeln für Differenzen gelten, weil du sie auf Regeln für die Addition und Multiplikation zurückführen kannst.

Beispiel. \(f(x) = x^3 - x = u(x) + v(x)\cdot w(x)\) mit \(u(x) = x^3\), \(v(x) = -1\), \(w(x) = x\).

\(u\) ist ungerade, \(v\) ist gerade und \(w\) ist ungerade. Also ist \(f\) ungerade laut 7. und 2.

Comments

1. hätte ich auch gekonnt, aber wie sieht dein Beweis zu 3. aus ?