Lineares Optimierungsproblem - Zylinder

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 3 (ILIAS, 4 Punkte) Wir betrachten eine zylinderförmige Blechdose \( D=\{(x, y, z) \in \) \( \left.\mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2} \leq r^{2} \& 0 \leq z \leq h\right\} \) mit Volumen \( V>0 \). Wie sollte die Dose gestaltet werden, um möglichst wenig Blech zu verbrauchen, und dennoch das Volumen \( V \) zu haben?

Problem/Ansatz:

Ich habe folgenden Ansatz, allerdings bin ich mir sehr unsicher und weiß nicht genau ob der Ansatz stimmt.

Zielfunktion: A(min) = 2π*r² + 2πrh

Nebenbed.: V = π*h*r² > 0

hier ist meine erste Frage: Darf ich in diesem Fall Lagrange anwenden, obwohl die Nebenbedingung nicht gleich sondern ungleich 0 ist?

Ich habe nun die Lagrange Funktion aufgestellt:

L(r,h,λ) = 2π*r² + 2π rh + λ*(π*h*r²)

Jetzt bilden wir die Ableitungen nach r, h und λ:

L_r(r,h,λ) = 4π r + 2πh + 2π rhλ = 0

L_h(r,h,λ) = 2π r + π r²λ = 0

L_λ(r, h, λ) = π r² h = 0

Löse nun das LGS:

II 2π r = -π r²λ

=> λ =  \( \frac{-2π*r}{π*r^2} \) = -\( \frac{2}{r} \)

Einsetzen in I:

I 4π*r + 2πh - 2*\( \frac{2πrh}{r} \) = 0.        | *r

4π*r² + 2π*h*r - 4π*r*h = 0

4π*r² - 2π*h*r = 0

4π*r² = 2π*h*r.           |:π r

4r = 2h                      | :2

2r = h

Meine Antwort:

Die Höhe des Zylinders (h) muss doppelt so groß gewählt werden wie der Radius (r), damit möglichst wenig Blech verbraucht wird unter der Nebenbedingung, dass das Volumen > 0 ist.

Wie eben erwähnt bin ich mir sehr unsicher, ob das alles so stimmt.

Es wäre super nett, wenn mir einer meine Fehler aufzeigen könnte, bzw. die korrekte Antwort nennt.

Comments

Bist Du sicher, das Lagrange eine lineare Optimierung macht?

BTW. eine Gleichung f(x)=b kann man umstellen zu f(x)-b=0...

Answer 1

Nebenbed.: V = π*h*r²

Nach h auflösen, in 2π*r² + 2πrh einsetzen. Dann bekommst du die Zielfunktion

        \(A(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r\frac{V}{\pi r^2}\).

Wie du siehst ist das eine Funktion einer Variablen, wie damals als du in der Schule Extremwertprobleme gemacht hast.