Optimierung mit dem Langrange-Ansatz

Question

Aufgabe:

Die Firma Phony produziert Mobiltelefone (Y). Dazu benötigt sie Maschinen (M) und Personal (L).

Die Produktionsfunktion lautet

Y = \( M^{\frac{1}{3}}L^{\frac{1}{3}} \)  . Eine Maschinenstunde kostet r, eine Arbeitsstunde kostet w. Phonys Budget beträgt m.

a) Berechnen Sie die optimale Menge von Maschinen-und Arbeitsstunden in Abhängigkeit von r, w und m.

Problem/Ansatz:

Hier muss man eine Nebenbedingung finden und diese in den Langrange-Ansatz einsetzen und diesen dann partiell ableiten. Würde mich freuen, wenn da jemand lösen könnte, oder zumindest eine sinnvolle Nebenbedingung finden :)?

Vielen Dank und schönen Sonntag

Comments

Ist die Aufgabe wirklich in dieser Allgemeinheit gestellt worden, oder stehen dort konkrete Zahlen für r, w und m?

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Bei der Teilaufgabe a) erstmal nicht. Also einfach in Abhängigkeit dieser Größen. (siehe Tschakabumba) . Hier noch die restliche Aufgabe:

b) Wie viele Arbeits-und Maschinenstunden setzt Phony ein, wenn das Budget m =16.000 EUR beträgt und die Inputpreise r = 1 EUR und w = 8 EUR sind? Wie viele Telefone produziert Phony dann?

c) Wie viele Arbeits-und Maschinenstunden setzt Phony ein, wenn das Budget m=100.000 EUR beträgt und die Inputpreise r = 2 EUR und w = 10 EUR sind? Wie viele Telefone produziert Phony dann?

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Okay danke, das kannst Du ja dann mit der von Tschakumba und mir gegebenen allgemeinen Formel lösen.

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion \(Y(M;L)\) ist unter einer konstanten Nebenbedingung \(g(M;L)\) zu optimieren:$$Y(M;L)=M^{1/3}L^{1/3}\quad;\quad g(M;L)=Mr+Lw\stackrel!=m=\text{const}$$

Nach Lagrange muss in den Extrempunkten der Gradient der zu optimierenden Funktion kollinear zum Gradienten der Nebenbedingung sein. Der Proportionalitätsfaktor ist der Lagrange-Multiplikator \(\lambda\). Formal heißt das:

$$\operatorname{grad}Y=\lambda\cdot\operatorname{grad}g\quad\implies\quad\binom{\frac13M^{-2/3}L^{1/3}}{\frac13M^{1/3}L^{-2/3}}=\lambda\binom{r}{w}$$Um den Lagrange-Multiplikator heraus zu rechnen, divdieren wir die Gleichung der ersten Koordinate durch die Gleichung der zweiten Koordinate:

$$\frac{\lambda r}{\lambda w}=\frac{\frac13M^{-2/3}L^{1/3}}{\frac13M^{1/3}L^{-2/3}}=\frac{\frac13L^{1/3}L^{2/3}}{\frac13M^{1/3}M^{2/3}}=\frac LM\implies\frac rw=\frac LM\implies Mr=Lw$$Setzen wir das in die Nebenbedingung \(g\) ein, folgt:$$Mr=Lw=\frac{m}{2}\quad\implies\quad M=\frac{m}{2r}\;;\;L=\frac{m}{2w}$$Die optimale Produktionsmenge ist daher:$$Y=\left(\frac{m}{2r}\right)^{1/3}\left(\frac{m}{2w}\right)^{1/3}=\left(\frac{m^2}{4rw}\right)^{1/3}=\sqrt[3]{\frac{m^2}{4rw}}$$

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Vielen Dank !

Answer 2

Nebenbedingung:

Mr + Lw = m

Comments

Vielen lieben Dank für die Antwort.

Ich habe bei diesem Ansatz erst Zweifel gehabt, da ja m aus r und w resultiert. Jedoch nicht eigenständig variabel ist. Also m wäre ja selbst von r und w abhängig . Wenn Sie wissen was ich meine . Ich weiß auch genau was Sie meinen und es war auch das erste an was ich gedachte habe..

LG

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da ja m aus r und w resultiert

Dem ist nicht so.

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okay danke :)

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Das Maximum von Y sollte sein:

m ^2/3 * 2 ^-2/3 * r ^-1/3 * w ^-1/3