Optimierung mit Funktionen

Question

Aufgabe: gegeben sei folgende  Ellipse:

 0,25*x²+y²=1

In diese Ellipse soll ein Rechteck einbeschrieben werden. Die maximale Fläche des Rechtecks soll angegeben werden

— Hauptbedienung

— Nebenbedingung

— zielfunktion in Abhängigkeit von a

— erste Ableitung der Zielfunktion

—Null Stelle der ersten Ableitung

— Maximale Fläche des Rechtecks

Answer 1

Wenn ein Eckpunkt (x,y) im 1. Quadranten ist, dann ist die

Fläche A=2x*2y und mit 0,25*x²+y²=1

bekommst du  y=√(1-0,25x² ).

Das einsetzen und Maximum von A bestimmen.

— Hauptbedingung A(x,y)=2x*2y

— Nebenbedingung  0,25*x²+y²=1

— Zielfunktion in Abhängigkeit von x

 A(x) = 2x*2√(1-0,25x² ) = 2x√(4-x²)

— erste Ableitung der Zielfunktion

A ' (x) =  2√(4-x²) -  (2x²) / √(4-x²)

—Null Stelle der ersten Ableitung

x=√2   ( einzige wegen x>0 ) 

— Maximale Fläche des Rechtecks  A=4

Answer 2

Wir betrachten nur die Ellipse im 1. Quadranten

0.25·x² + y² = 1 --> y = √(4 - x²)/2

A = 4·x·y = 4·x·√(4 - x²)/2 = 2·x·√(4 - x²)

A' = 4·(2 - x²)/√(4 - x²) = 0 --> x = √2

y = √(4 - (√2)²)/2 = √2/2

A = 4·(√2)·(√2/2) = 4