der harmonische Mittelwert berechnet mit arithmetischem Mittel

Question

Aufgabe:

[Text erkannt:

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline Streckenabschnitt & Strecke in \( \mathrm{km} \) & Geschwindigkeit in \( \mathrm{km} / \mathrm{h} \) & Zeit in \( \mathrm{h} \) \\
\hline 1 & 50 & 150 & \( 1 / 3 \) \\
\hline 2 & 60 & 120 & \( 1 / 2 \) \\
\hline 3 & 90 & 90 & 1 \\
\hline
\end{tabular}

Durchschnittliche Geschwindigkeit berechnen:]

(Quelle: https://studyflix.de/statistik/harmonisches-mittel-1039)

Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe ging ich folgendermaßen vor:

 ∑(Strecke * Geschwindigkeit) / ∑Strecke = (50*150+60*120+90*90)/(50+60+90) = 114 (km/h)

Dies scheint aber falsch zu sein, weil man nicht mit der Strecke sondern der Zeit multiplizieren und dividieren muss (also ∑(Zeit * Geschwindigkeit) / ∑(Zeit)). In der Tat kommt man auf ein anderes Ergebnis, aber ich verstehe nicht warum und auch nicht warum man die Zeit nehmen muss und nicht die Strecke. Die Geschwindigkeit ist ja eine Größe die sich aus beiden Variablen zusammensetzt...

Danke!

Answer 1

Es ist

(1)        \(\text{Geschwindigkeit}  = \frac{\text{Strecke}}{\text{Zeit}}\).

Das kann man an der Einheit \(\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\) erkennen. Umstellen liefert

(2)        \(\text{Strecke}  = \text{Geschwindigkeit}\cdot \text{Zeit}\).

Um mittels (1) die Durchschnittsgeschwindigkeit zu berechnen musst du desahlb für jeden einzelnen Streckenabschnitt mittels (2) die Strecke berechnen und die so erhaltenen Strecken addieren.