Funktion Beispiel lösen :

Question

Aufgabe 6
Gegeben ist die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(t)=\sin \left(2 t+\frac{\pi}{4}\right) \).
a) Geben Sie die kleinste Periode von \( f \) an.
b) Geben Sie alle Nullstellen von \( f \) an.
c) Skizzieren Sie \( f \) mithilfe der Informationen aus a) und b) über 3 Perioden!

Problem/Ansatz

Kann mir jemand erklären, wie man diese Aufgabe löst?

Answer 1

a) Geben Sie die kleinste Periode von f an.

Da f(t) gegenüber der normalen Sinusfunktion mit dem Faktor 2 gestaucht ist hat man die Periodenlänge pi.

b) Geben Sie alle Nullstellen von f an.

SIN(2·t + pi/4) = 0
2·t + pi/4 = k·pi
2·t = k·pi - pi/4
t = k·pi/2 - pi/8
t = k·4/8·pi - 1/8·pi
t = (k·4/8 - 1/8)·pi

c) Skizzieren Sie f mithilfe der Informationen aus a) und b) über 3 Perioden!

Comments

Könnten Sie mir vielleicht erklären, wie sie zu den Lösungen gekommen sind?

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Die allgemeine Sinusfunktion lautet: f(x)= a·sin(\( \frac{2π}{p} \)·(x-b))+c. Darin ist a die Amplitude, p die (kleinste) Periode, b die Verschiebung in x-Richtung und c die Verschiebung in y-Richtung,

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Aber wie rechnet man die Nullstellen aus?

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Man setzt die Funktion gleich null

SIN(2·t + pi/4) = 0

und löst die Gleichung nach t auf.

Beachte das SIN(x) mehre Nullstellen hat, die bei k mal pi liegen, wobei k eine ganze Zahl ist.

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verstehe ich noch immer nicht :/

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Wenn du nicht sagst was du nicht verstehst kann ich leider auch nicht helfen.

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Man setzt die Funktion gleich null

SIN(2·t + pi/4) = 0

und löst die Gleichung nach t auf.

Beachte das SIN(x) mehre Nullstellen hat, die bei k mal pi liegen, wobei k eine ganze Zahl ist.

Ich hab mit der Erklärung noch immer nicht verstanden, wie man auf die Nullstellen kommt.

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Löse die Gleichung 2·t + π/4=k*π nach t auf.

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ahh, danke jetzt hab ich es verstanden :)

Letzte Frage, wie skizziert man das ohne technische Mittel, also wie geht man vor und was benötigt man?

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Tipp: Aufgabe richtig lesen

Skizzieren Sie f mithilfe der Informationen aus a) und b) über 3 Perioden!

Aus der Kenntnis kannst du zumindest schon ein paar Nullstellen zeichnen. Schaffst du das?

Als nächstes kannst du den y-Achsenabschnitt (f(0)) einzeichnen.

Mit der Kenntnis über die Amplitude und der Kenntnis das zwischen benachbarten Nullstellen immer eine Extremstelle ist, kannst du jetzt auch abwechselnd die Hoch- und Tiefpunkte einzeichnen. Anschließend kannst du noch die Punkte näherungsweise durch eine schöne geschwungene Wellenfunktion verbinden.

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Ich weiß die kleinste Periode von f ist pi. Die Nullstelle ist t und die Amplitude ist 1. Und das es über 3 Perioden gehen muss. Aber wo sind die Extremstellen bzw die Hoch und Tiefpunkte?

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Die Nullstelle ist t

Dieses t kannst du ausrechnen.

t = (k·4/8 - 1/8)·pi für k € Z

Deine Nullstellen kannst du dann anhand meiner Skizze oben vergleichen.

Und dann hatte ich gesagt das die Extremstellen immer mittig zwischen zwei benachbarten Nullstellen liegen.

Damit kennst du, wenn du die Nullstellen, kennst auch die Extremstellen.

Auch das solltest du oben in meiner Skizze sehen.

Answer 2

eine Sinsfunktion ohne Parameter hat die Periode 2·π. Die 2 in der Aufgabe halbiert diese Periode. π/4 verschiebt das noch einmal. Schau dir das unter "Sinusfunktion mit Parametern" im Netz an und nutze GeoGebra für die Graphik.