Begründen Sie, dass die Modellfunktion für diese Bereiche nicht geeignet ist.

Question

Aufgabe:

In einer Wetterstation wird die Lufttemperatur von einem elektronischen Messgerät erfasst. Die aufgezeichnete Temperaturkurve an einem Sommertag kann im Bereich von 5.00 Uhr am Morgen bis 21.00 Uhr am Abend recht gut durch eine ganzrationale Funktion dritten Grades modelliert werden.

f(x) = - 0,009 x^3 + 0,21 x^2 + 8

a) Beschreiben Sie den Temperaturverlauf in dem angegebenen Bereich. Gehen Sie dabei auch auf die Änderungsrate ein.
b) Beantworten Sie mithilfe der Modellfunktion die folgenden Fragen:
In welchem Bereich steigt die Temperatur, in welchem Bereich fällt sie? Zu welchem Zeitpunkt ist die momentane Anderungsrate am größten, wie groß ist sie?
Vergleichen Sie die Anderungsralen zu Beginn und Ende des angegebenen Bereichs.
c) Wie könnte die Kurve vor 5 00 und nach 21.00 aussehen? Begründen Sie, dass die Modellfunktion für diese Bereiche nicht geeignet ist.

Problem/Ansatz:

Ich komme bei dieser Aufgabe nicht ganz weiter, hätte aber Ideen zu:

a) die Temperatur steigt von 5 bis ca 15 Uhr von 12 bis 25 Grad an und fällt dann ab 16 Uhr auf 17 Grad. Bei der Änderungsrate weiß ich nichts

b) teilweise schon in a versucht zu beantworten, auch hier weiß ich bei der momentanen Änderungsrate nicht weiter

c) leider keine Idee

Ich würde die Aufgabe gerne verstehen und lösen wollen und mich daher sehr über Hilfe freuen.

Answer 1

a)

Du könntest darauf eingehen, dass die Änderungsrate im Bereich von 5 bis 12 fast gleich bleibt, weil dort der Graph näherungsweise linear verläuft.

Evtl. kann man auch erahnen, dass der Graph um 5 uhr noch linksgekrümmt ist und gegen 16 Uhr sicher rechtsgekrümmt.

Du könntest daher hier näherungsweise, die Wendestelle angeben, an der du den stärksten Temperaturanstieg erwartest.

Rechnerisch kommst du da auf ca. 8.

b) Beantworten Sie mithilfe der Modellfunktion die folgenden Fragen: In welchem Bereich steigt die Temperatur, in welchem Bereich fällt sie?

f'(x) = 0 --> x = 0 ∨ x = 140/9 ≈ 15.56 ≈ 15:33 Uhr

Zu welchem Zeitpunkt ist die momentane Anderungsrate am größten, wie groß ist sie?

f''(x) = 0 --> x = 70/9 = 7:47 Uhr
f'(70/9) = 49/30 = 1.633 °C/h

Vergleichen Sie die Anderungsralen zu Beginn und Ende des angegebenen Bereichs.

f'(5) = 1.425 °C/h
f'(21) = - 3.087 °C/h

c) Wie könnte die Kurve vor 5 00 und nach 21.00 aussehen? Begründen Sie, dass die Modellfunktion für diese Bereiche nicht geeignet ist.

Wenn man davon ausgeht, das die Tiefsttemperatur in der Nach bei ca. 6 Grad liegt würde sich die Temperatur vor 5 von 10 Grad auf 12 Grad ansteigen und nach 21 Uhr von ca. 17 Grad auf 10 Grad abfallen.

Ich habe mal eine Skizze dafür gemacht

PS: Eingezeichnet habe ich auch noch die Änderungsrate der Funktion im Intervall von 5 bis 21 Uhr.

Comments

Hallo, vielen Dank für die Hilfe und Mühe. Das konnte ich so alles nachvollziehen. Ich verstehe nur noch nicht so ganz, wie ich das bei c) jetzt begründen kann, warum die Modellfunktion für diese Bereiche nicht geeignet ist?

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Wenn du das einfach mal zeichnest

Die Temperatur im Zeitraum von 0 bis 5 Uhr kann wohl so noch akzeptabel wirken.

Im Zeitraum von 21 bis 24 Uhr ist es unwahrscheinlich, dass die Temperatur von 25 Grad auf 5 Grad fällt. Dieses ist auch noch nicht die niedrigste Temperatur, da die Änderungsrate noch sehr stark negativ ist und es unrealistisch das Graphen starke Knicks im Verlauf bekommen.

Answer 2

a)  von 5h bis etwa 12h steigt die Temp.

mit etwa gleichbleibender Änd.rate so zwischen

1 und 2 Grad pro Stunde an.

b) Änderungsrate f'(x) = -0,027*x^2+0,42*x

mit f'(x)=0 bekommst du x=0  oder x≈15,6

Also die Zeiten etwa 0h und 15:30h.

von 5h bis 15:30h steigt die Temp.

danach fällt sie.

f '' (x) = -0,054x +0,42   = 0

               ==>  x=7,8  Also um etwa 7:45 h größte Änderungsrate.

Um 5h Änderungsrate f ' (5) =1,425  °C/h

und um 21h entsprechend etwa -3°C/h.

d) Es geht ja wohl um einen Sommertag (bis 25° Temp.). Wenn man

den Graphen von 0 bis 24 fortsetzt hat bei 0h 8° (Recht kalt für eine

Nacht im Sommer.) und bei 24 sogar noch weniger. Während der

Nacht müsste m. E. die Temperatur einigermaßen gleich bleiben.