Analyse der Metrik in R^2: Definition, Eigenschaften und Grenzwerte für eine alternative Metrik

Question

Aufgabe:

\(\text{Es seien } x, y \in \mathbb{R}^2 \text{ und } \widetilde{d} : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \text{ gegeben durch} \\ \widetilde{d}(x, y)= \left\{ \begin{array}{l}   \lVert x - y \rVert & \text{wenn } x, y \text{ und }(0, 0) \text{ auf derselben Geraden liegen} \\   \lVert x \rVert + \lVert y \rVert & \text{sonst,} \\ \end{array} \right. \\ \text{wobei für } x = (x_1, x_2) \text{ gilt } \lVert x \rVert = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}\ \text{. Dabei bezeichnet } \lVert x \rVert \text{ die übliche euklidische Norm auf } \mathbb{R}^2 \text{, } \text{d. h. } \lVert x - y \rVert = \widetilde{d}(x, y) \text{ ist der übliche euklidische Abstand im } \mathbb{R}^2 \text{ .}  \\ \text{ (i) Zeigen Sie, dass das so defninierte }\widetilde{d} \text{ tatsächlich eine Metrik auf } \mathbb{R}^2 \text{ ist.} \\ \text{ (ii) Berechnen Sie für die Folge } x_n = (2^{-n}, 1) \text{ und den Punkt } x = (0, 1) \text{ die Grenzwerte } \lim_{n \to \infty} \tilde{d}(x_n, x) \text{ und } \lim_{n \to \infty} d(x_n, x) \text{.}\)

Answer 1

(i) Prüfe die Metrik-Axiome: z.B. 1.  \(\widetilde{d}(x,y)=0 <=> x=y \)

1.   \(\widetilde{d}(x,y)=0 ==>  x=y \)

Seien also  \( x = (x_1,x_2) \text{und }  y= (y_1, y_2)  \text{aus }  \mathbb{R}^2\)

mit   \(\widetilde{d}(x,y)=0 \).

1. Fall x,y und (0,0) liegen auf derselben Geraden.

        1. Unterfall : Gerade mit Steigung k.

                        ==>  \(  x_2=k \cdot x_1 \)  und \(  y_2=k \cdot y_1 \)

                     ==>   (wegen \(\widetilde{d}(x,y)=0 \) )

      \(  || x-y || =0    \text{also}     || (x_1-y_1 , k \cdot x_1 - k \cdot y_1 ) || = 0 \)

      ==>   \(  || (x_1-y_1 , k \cdot (x_1 -  y_1 )) || = 0 \)

            ==>  \( \sqrt{ (x_1-y_1)^2+  k^2 \cdot (x_1 - y_1 )^2} = 0 \)

     ==>  \(|x_1-y_1| \cdot \sqrt{ 1+k^2 } = 0 \)

Da \(  \sqrt{ 1+k^2 } > 0 \) folgt \(|x_1-y_1|= 0 \) also x1=y1

und wegen   \(  x_2=k \cdot x_1 \)  und \(  y_2=k \cdot y_1 \)

also auch x=y.

    2. Unterfall Beide liegen auf der y-Achse, also x=(0,x2) und y=(0,y2)

      Dann gilt   \(  || x-y || =0    \text{also}    || 0 , x_2 - y_2 ) || = 0 \)

     also \( \sqrt{ 0 +  (x_2 -  y_2 )^2} = 0 \)

       also auch hier x2=y2 und damit   x=y.

2. Fall "sonst" Da gilt   \(\widetilde{d}(x,y)=0 \)

==>     ||x|| + ||y|| =0    Da beide Summanden ≥0 sein müssen

(pos. Definitheit der || ..|| Norm ) gilt also

                 ||x||=0   und ||y||=0 , also x=0 und y=0 also x=y.

Dann bleibt zu zeigen

2.   \(\widetilde{d}(x,y)=0 <==  x=y \)  etc.

und die anderen Axiome.

Comments

Wie willst du die Δ-Ungleichung je schaffen, wenn du für Trivialitäten so einen Affenzirkus veranstaltest ?