Zeige, dass d eine Metrik auf X definiert.

Question

Aufgabe:

Sei \( X=(0, \infty) \) und \( d(x, y)=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right| \) für \( x, y \in X \).

(a) Zeigen Sie, dass \( d \) eine Metrik auf \( X \) definiert.
(b) Bestimmen Sie \( B_{1}(1) \) bezüglich dieser Metrik.

Answer 1

Da weder x noch y gleich 0 sein können, ist

alles wohl definiert. Zeige die Axiome für eine Metrik:

1. d(x,y) = 0  <=>  x=y

Hier d(x,y)=0 <=> \( \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right| = 0\)

          <=> \( \frac{1}{x}-\frac{1}{y} = 0\)

<=> \( \frac{1}{x}=\frac{1}{y} \)            <=> x=y .

Also 1. erfüllt.

2. Symmetrie  \( \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{z}\right| = \left|\frac{1}{z}-\frac{1}{x}\right| \)

Dürfte auch klar sein: Wenn man bei einer Differenz die Reihenfolge

ändert, ändert sich nur das Vorzeichen, nicht aber der Betrag.

3. Dreiecksungl.:

d(x,z)+d(z,y) =  \(  \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{z}\right| +\left|\frac{1}{z}-\frac{1}{y}\right| \)

mit der "normalen" Dreeicksungl. gibt es

\( \ge \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{z}+\frac{1}{z}-\frac{1}{y}\right| \)

\( = \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right| \)  = d(x,y) .

Für \( B_{1}(1) \) musst du alle x>0 finden, für die gilt:

              d(1 , x) < 1

<=>   \(  \left|\frac{1}{1}-\frac{1}{x}\right| \)  < 1

<=>  \(  \left|  1-\frac{1}{x}\right| \)  < 1

<=>  -1  <   \(  \left| 1 -\frac{1}{x}\right| \)  < 1

<=>  -1  <  \(   1 -\frac{1}{x} \)  < 1

<=>  -2 <  \(   -\frac{1}{x} \)  < 0

<=>  2 >  \(  \frac{1}{x} \)  >  0

Wegen x>0 kann man multiplizieren

<=>  2x >  1  >  0

<=>  x >  1/2  >  0

Also bilden alle x>1/2  den Ball \( B_{1}(1) \).