Zeige, dass die Funktion d: N x N → R ist definiert durch d(n,m) := I 1/n - 1/m I eine Metrik definiert

Question

Aufgabe:

a.) Die Funktion d: N x N → R ist definiert durch d(n,m) := I 1/n - 1/m I.

Zeige, dass d eine Metrik definiert und jede Teilmenge von N offen ist bezüglich d.

b.) Es sei d^ : N₀ x N₀ → R gegeben durch d^(n,m) = d(n,m) und d^(0,n) = d^(n,0) = 1/n für n,m ∈ N. Finde eine Teilmenge von N0 welche nicht offen ist bezüglich d^

Comments

Bei der Definition von d^ fehlt noch ein Teil der Definition.

Answer 1

a)  Du musst die Metrik-Axiome nachweisen:

1.  d(x,y)=0 <=>  x=y  zeigst du so:

       d(x,y)=0 <=>  I 1/n - 1/m I = 0

                      <=>       1/n - 1/m = 0

                      <=>              1/n = 1/m

                        <=>               n=m.

2. Symmetrie erfüllt weil  I 1/n - 1/m I =   I 1/m - 1/n I

3. Dreiecksungl:  für alle x,y,z aus N gilt:

zu zeigen     d(x,y) ≤  d(x,z) +  d(x,z)

      d(x,y) =     I 1/x - 1/y I

               =     I 1/x - 1/z   +   1/z   - 1/y I

Dreiecksungl. für Betragsmetrik gibt

                ≤    I 1/x - 1/z |   +   | 1/z   - 1/y I

               =    d(x,z) +  d(x,z).

Comments

Ja den ersten Teil habe ich nun verstanden. Doch bei zweiten Teil, wie auch bei der Teilaufgabe b) bin ich planlos. Ich wäre froh um eine Idee.

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jede Teilmenge von N offen ist bezüglich d.

Da ist zu zeigen: Ist T eine Teilmenge von N, dann gibt zu jedem

x∈T ein eps so dass für alle y ∈ℕ gilt

  d(x,y) < eps ==>    y ∈T.

Sei also x∈T. Dann gibt es für jedes von x verschiedene y∈ℕ

ein a∈ℤ mit y = x+a.

==>  d(x,y) = | 1/x - 1/(x+a)| = | (x+a-x) / (x*(x+a)) |

= | a | /  (x*(x+a)) =| a | /  (x^2  + x|a|)

mit |a| kürzen, das ist ja wegen x≠y nicht 0

= 1 /  (x^2 / |a|  + x)

und   x^2 / |a|  > 0 , also

x^2 / |a|  + x  >   x

  1 /  (x^2 / |a|  + x)   <  1/x .

Wähle also eps=1/x , dann gibt es kein von x verschiedenes

Element in der eps-Umgebung von x, also alle

Elemente der Umgebung in T enthalten.

==>  T ist offen bezüglich d.