Zeige oder widerlege, dass die Funktion d:={R×R→R ,(x, y)→(x−y)^2 eine Metrik auf R ist.

Question

Aufgabe:

Zeige oder widerlege, dass die Funktion d:={R×R→R  ,(x, y)→(x−y)^2  eine Metrik auf R ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß wie die Metrik axiome lauten nur ich weiß nicht wie ich die hier anwenden kann.

Comments

Schreib doch mal das erste hierhin - konkret für Dein Beispiel d(x,y)=(x-y)^2 - und erkläre uns Dein Problem damit.

Gruß

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(1) Definitheit

d(x,y) =0 <=> x=y

Ich habe versucht das auszumultiplizieren mit x^2-2xy+y^2=0

und dann zu zeigen das x=y aber das ergibt keinen Sinn

Gruß Exertis

Answer 1

Also, Du willst wissen, ob \((x-y)^2=0 \iff x=y\). Dann frage ich Dich: für welche Zahlen w gilt denn \(w^2=0\)?

Und zum 2. Axiom: Gilt \((x-y)^2=(y-x)^2\)?

Und für das 3.: Überprüfe das einfach mal mit ein paar Beispielen ...

Gruß

Comments

Mich verwirrt das erste irgendwie, das gilt ja nur für die 0 also muss ich zeigen, dass wenn x-y und x=y gelten (x-y)^2 =0 folgt?

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Der Schluss ist:

$$d(x,y)=0 \iff (x-y)^2=0 \Rightarrow x-y=0 \rightarrow x=y$$

Gruß

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Das zweite habe ich ausgerechnet sodass 0=0 dasteht, damit ist das eine wahre Aussage

Bei 3 kann ich irgendwelche Zahlen aus R wählen?