Aufgabe:
Wollte zuerst sagen: Tolles Forum hier
Nun zur Übung für die kommende Klausur folgende Aufgabe, die zu lösen ist :
Verifizieren Sie, ob die Abbildung d: R x R → R mit
d(x,y) = arctan (| x - y |) eine Metrik auf R definiert.
Problem/Ansatz:
… Für arctan gilt folgendes allgemein:
arctan( a + b) ≤ arctan(a) + arctan(b)
Da arctan eine ungerade Funktion, gilt auch :
arctan( |a + b|) ≤ arctan(|a|) + arctan(|b|)
Also folgt ( Siehe Bild ) :
Text erkannt:
Z. Z: \( \quad \arctan (|x \cdot z|) \leq \arctan (|x-y|)+\arctan (|y-z|) \)
\( d(a, b) \Rightarrow \arctan (a+b) \leq \arctan a+\arctan b \)
Alo anch:
\( \arctan (\underbrace{|a+b|}_{x-z} \leq \arctan |a|+\arctan |b| \text {, da } \arctan (-x)=-\arctan x \)
für a = x - y und b = y - z
kann man den Beweis so führen bzw. ergibt der Rechenweg einen Sinn??
LG
