Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Deine Eigenwerte kann ich bestätigen:\(\quad\lambda_1=-1\;;\;\lambda_2=2\;;\;\lambda_3=1\)
Wir bestimmen den Eigenraum für \(\lambda_3=1\) gemeinsam. Dann kannst du das Vorgehen mit den beiden anderen Eigenwerten selbst erproben.
Der Eigenraum zu \(\lambda_3=1\) ist der Lösungsraum des folgenden Gleichungssystems.
Unser Ziel beim Umformen ist es, so viele Spalten wie möglich zu erhalten, die aus lauter Nullen und genau einer Eins bestehen.$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline3-\lambda & -1 & 0 & 0 &\text{\((\lambda=1)\) einsetzen}\\2 & -\lambda & 0 & 0 & \text{\((\lambda=1)\) einsetzen}\\-2 & 2 & -1-\lambda & 0 &\text{\((\lambda=1)\) einsetzen}\\\hline 2 & -1 & 0 & 0 &-\text{Zeile 2}\\2 & -1 & 0 & 0 &\\-2 & 2 & -2 & 0 &+\text{Zeile 2}\\\hline0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\\2 & -1 & 0 & 0 & \div2\\0 & 1 & -2 & 0 & \div(-2)\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\\[0.5ex]\pink1 & -\frac12 & 0 & 0 & \Rightarrow \pink x-\frac12y=0\\[0.5ex]0 & -\frac12 & \pink1 & 0 &\Rightarrow -\frac12y+\pink z=0\end{array}$$
Die erste Gleichung (Nullzeile) ist immer erfüllt. Die beiden anderen Bedingungen stellen wir nun nach den pinken Variablen um$$\pink x=\frac12y\quad;\quad\pink z=\frac12y$$und geben damit alle Lösungen des Gleichungssystems explizit an:$$\begin{pmatrix}\pink x\\y\\\pink z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac12y\\[1ex]y\\[1ex]\frac12y\end{pmatrix}=\frac y2\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}=\mathbb R\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$$Da wir für \(y\) alle reellen Zahlen einsetzen dürfen, können wir \(\frac y2\) durch alle beliebigen Zahlen ersetzen. Der Eigenraum zu \(\lambda_3=1\) ist also eine Gerade durch den Urpsrung und der Basisvektor ist der Eigenvektor:$$\vec v_3=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$$Beachte, dass der Eigenvektor nur bis auf einen von Null verschiedenen Faktor eindeutig bestimmt ist.
Für dich zur Kontrolle die Eigenvektoren zu den anderen Eigenwerten:$$\vec v_1=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\quad;\quad \vec v_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$$
