Von Lösung auf DGL kommen

Question

ich möchte von der Lösung einer DGL auf die DGL selber kommen(Teil 2). Als Übung wurde die DGL erstmal normal ausgerechnet.

(Teil 1)

y''+2y'+5y=0

λ² +2λ+5=0

λ_1/2 = -1±2i

y=e^-x (C₁ cos(2x) + C₂ sin 2x)

Nun zu dem Teil den ich nicht verstehe, ich aber mitgeschrieben habe:

(Teil 2)

Vorgegebene Lösung: C₁ e^-x cos(2x)

α = -1

β = 2

y''+ay'+by=0

λ= -\( \frac{a}{2} \) ± \( \sqrt{\frac{a^2}{4}-b} \) 

\( \frac{a^2}{4} \)-b = -4

"Und so kommt man auf die Ausgangsgleichung."

Fehlt in der vorgegebenen Lsg. in Teil 2 nicht das + C₂ sin 2x? Und warum habe ich (in Teil 2) drunter geschrieben "Und so kommt man auf die Ausgangsgleichung.", wenn ich gar keine Gleichung angegeben habe(müsste ja die aus Teil 1 sein?). Ich bin von meiner eigenen Mitschrift verwirrt.

Answer 1

Hallo

C1e^-x*cos(2x) ist ja eine Lösung der Dgl y''+ay'+b=0

du hast nur vergessen, dass die Lösung -a/2=-1 und \( \sqrt{a^2/4-b} \) ib sein muß und du damit die Lösung hast wenn du noch nach b auflöst, dass dann auch noch y=e^-x (C1 cos(2x) + C2 sin 2x) Lösung ist schadet ja nicht.

Gruß lul