Homogene Differentialgleichung: x'' = - w^2 x. Wie könnte ich hier zur Lösung kommen?

Question

$$x"\quad =\quad -\quad { \omega  }_{ 0 }^{ 2 }\quad x\quad ,\quad \quad \quad { \omega  }_{ 0 }\quad >\quad 0$$

Comments

x könnte sin(wt) oder cos(wt) sein. Kommst du damit zur allgemeinen Lösung?

Schau vielleicht mal hier: https://www.mathelounge.de/93646/differentialgleichung-y-y-0

Answer 1

Hi,
Ich gehe davon aus das die Dgl. korrekt so lautet $$ x''(t)=-\omega^2x(t) $$
Du musst das charakteristische Polynom aufstellen und lösen. Es lautet hier \( \lambda^2+\omega^2=0 \) und hat die Lösungen \( \lambda=\pm i\omega \). Also gibt es zwei Lösungen der Differentialgleichung
$$ x_1(t)=e^{i\omega t} $$ und $$ x_2(t)=e^{-i\omega t}$$ Da wir hier an reellen Lösungen interessiert sind, sieht man das der Real- wie auch der Imaginärteil der Lösung reelle Lösungen sind. D.h. $$ x_1(t)=cos(\omega t)$$ und $$ x_2(t)=sin(\omega t) $$ sind Lösungen der Dgl. Damit ergibt sich die allg. Lösungen zu $$ x_H(t)=C_1x(t)+C_2x(t)=C_1cos(\omega t) + C_2 sin(\omega t) $$

Comments

Du meinst zu Beginn schon:

x ''(t) = ω^2 * x(t)

Oder?

EDIT: erledigt.

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Hi,

danke, ja das habe ich gemeint und meine Antwort entsprechend noch editiert. War wohl zu schnell mit dem schreiben.