Lösen Sie die lineare homogene Differentialgleichung

Question

Losen Sie die lineare homogene Differentialgleichung
$$ \vec{y}^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{array}\right) \vec{y}(t) $$

Answer 1

Hallo,

1. Eigenwerte berechnen:

det (A-λE)= \( \begin{pmatrix} 1-λ  & 1 \\ 4 & 1-λ \end{pmatrix} \)

(1 -λ)^2 -4 =0

λ^2 -2λ -3=0

λ₁=3

λ₂=-1

2. Eigenvektoren berechnen:

ν₁= \( \begin{pmatrix} 1\\2\\ \end{pmatrix} \)

ν₂= \( \begin{pmatrix} -1\\2\\ \end{pmatrix} \)

3.Lösung:

y= C₁ e^(3t) \( \begin{pmatrix} 1\\2\\ \end{pmatrix} \) +C₂ e^(-t) \( \begin{pmatrix} -1\\2\\ \end{pmatrix} \)

Answer 2

Eigenwerte finden, danach Eigenvektoren, sie mit  e hoch Eigenwert *t multiplizieren, fertig ist das Fundamentalsystem.

Gruß  lul