Homogene Differentialgleichung nach x(t)

Question

Habe ich diese DGL richtig gelöst?

Text erkannt:

b) \( x^{\prime}(t)=\frac{x^{2}(t)+2 t \cdot x(t)}{t^{2}}=F(t, x(t)) \) furr \( F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \).

Subshhiere \( y(t)=\frac{x(t)}{t} \) Dann ist \( x(t)=y(t) \cdot t \& \) somit nach Produltregd \( x^{\prime}(t)=t y^{\prime}(t)+y(t) \). Nun sehe das elnkerhalte

Dann ist die lösung \( x(t)=\frac{c t|t|}{1-c|t|} \) oder \( \frac{-c t|t|}{1+c|t|} \)

Comments

Was ergibt denn Deine Probe?

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Ich glaube das richtige ist eher

x(t) = ct^2 / (1-ct)

Die Probe ist hier echt mühsam :(

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Diese Lösung erhältst Du, wenn Du deine beiden Teillösungen zusammenfasst. Dann ist der Betrag weg und die Probe sollte auch nicht so schwer sein.

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Verstehe, ich Danke Dir!

Answer 1

Vorgehen und Rechnung stimmt, Lösung auch.

Man erhält (s.o.): \(x(t)=\frac{ct^2}{1-ct}\) für alle \(t\neq 0\).

Beachte: Die Lösung ist auch für \(t=0\) definiert, aber die Dgl nicht.

Mit Kürzen durch \(c\) und setzen von \(d:=\frac1c\) vereinfacht es sich noch weiter zu: \(x(t)=\frac{t^2}{d-t}\).

Dann fehlt aber der Fall \(c=0\), was \(x(t)=0\) konstant bedeutet, was ja auch Lösung ist. Der Fall \(x(t)=-t\) ist aber enthalten.

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Danke sehr! :)

Answer 2

Hallo,

Du kannst Dein Ergebnis durch Wolfram Alpha überprüfen.

Leider zeigt er nicht immer alle Lösungen an , aber als Orientierung kannst Du ihn schon nehmen.

https://www.wolframalpha.com/input?

Beachte :

2 Lösungen gehen bei der Division verloren:

---------->

y^2 (t) +y(t)=0

y(y +1) =0

y₁=0 → y= \( \frac{x}{t} \) → x₁=0

y₂=  -1  → y= \( \frac{x}{t} \) ----->x₂= -t

Comments

Danke sehr! Ich wusste das gar nicht mit Wolfram :D