Hallo :-)
Wie du Faktoren benennst, ist dir überlassen.
Allerdings stimmt deine Lösung nicht. Hier kannst du sie durch folgenden Ansatz bekommen:
Ansatz: \(f(x)=e^{t\cdot x}\). In die DGL eingesetzt ergibt:
$$ \begin{aligned} 0&=2\cdot f''(x)-12\cdot f'(x)+10\cdot f(x)\\[10pt]&=2\cdot t^2\cdot e^{t\cdot x}-12\cdot t\cdot e^{t\cdot x}+10\cdot e^{t\cdot x}\\[10pt]&=\underbrace{e^{t\cdot x}}_{\neq 0}\cdot \Big(\underbrace{2\cdot t^2-12\cdot t+10}_{=0}\Big) \end{aligned} $$
Löse also \(0=2\cdot t^2-12\cdot t+10\). Das ergibt \(t_1=5,\quad t_2=1\).
Also lautet die allgemeine Lösung: \(f(x)=c_1\cdot e^{5\cdot x}+c_2\cdot e^{x}\).
