Homogene lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung berechnen

Question

Aufgabe:

Sei \( v \) die Losung der folgenden Differentialgleichung
$$ \left(t^{2}+9\right) y^{\prime}=t y, y(0)=3 $$
Berechnen Sie \( v(9) \)

Answer 1

Aloha :)

$$\left.(t^2+9)y'=ty\quad\right|\;:(t^2+9)$$$$\left.y'=\frac{t}{t^2+9}y\quad\right|\;:y$$$$\left.\frac{y'}{y}=\frac{1}{2}\frac{2t}{t^2+9}\quad\right|\;\text{integrieren}$$$$\left.\ln|y|=\frac{1}{2}\ln(t^2+9)+c\quad\right|\;c:=\text{const.}$$Aus der Randbedingung \(y(0)=3\) folgt die Integrationskonstante \(c\) wie folgt:$$\ln3=\ln|y(0)|=\frac{1}{2}\ln(0^2+9)+c=\ln\left(\sqrt{9}\right)+c=\ln3+c\quad\Rightarrow\quad c=0$$Damit können wir weiter rechnen:$$\left.\ln|y|=\frac{1}{2}\ln(t^2+9)=\ln\left(\sqrt{t^2+9}\right)\quad\right|\;e^\cdots$$$$\left.|y|=\sqrt{t^2+9}\quad\right|\;\sqrt{t^2+9}\ge3>0$$$$y(t)=\sqrt{t^2+9}$$Speziell an der Stelle \(t=9\) haben wir also:$$y(9)=\sqrt{9^2+9}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$$

Comments

Da die y-Taste ziemlich weit von der v-Taste entfernt ist, glaube ich nicht so recht an einen Tippfehler. Gibt es auch noch eine Funktion v (wegen v(9))?

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Nee, das \(v\) ist die Lösung der Differentialgleichung unter der speziellen Anfangsbedingung. Eigentlich hätte ich in meiner Lösung hinter "Damit können wir weiter rechnen:" \(y\) durch \(v\) ersetzen können, weil die Anfangsbedingung ab da verarbeitet wurde.

Answer 2

Hallo,

diese DGL löst Du mittels "Trennung der Variablen"

(t^2+9)y'=ty

(t^2+9)dy/dt =ty |*dt

(t^2+9)dy =ty dt

dy/y= t/(t^2+9) dt

ln|y|=1/2 *ln(x^2+9) +C |e hoch

y=C₁ √(t^2+9)

AWB einsetzen:

y(0)=3

3=C₁*3

C₁=1

y= √ t^2+9