Brauche Hilfe bei der Aufgabe
Logistische Differentialgleichung
Die logistische DGL ist eine nichtlineare homogene Differentialgleichung erster Ordnung und beschreibt das zeitliche Wachstum einer Population \( x \) mit Sättigung:
\( \dot{x}-k x\left(x_{m}-x\right)=0 \)
a) Lösen Sie die vollständig nichtlineare DGL mit dem Ansatz der Separation der Variablen. Das dadurch erhaltene Integral lässt sich mit der Substitution \( u=\frac{x-x_{m}}{x} \) bestimmen.
b) Die Ausbreitung einer Epidemie mit Immunisierung lässt sich mit Hilfe der logistischen DGL sehr vereinfacht beschreiben. In einer Stadt mit \( x_{m}=130000 \) Einwohnern werden durch einen exakten vollständigen Massentests am Tag 0 eine Anzahl von \( x(0)=100 \) infizierten Personen registriert. Am Tag \( t=20 \) ergibt ein neuerlicher Massentest eine
Anzahl von \( x(20)=1000 \) infizierten Personen. Bestimmen Sie die Konstanten \( k \) und \( c \) aus diesen Angaben.
c) An welchem Tag sind demnach 120000 Personen in der Stadt infiziert (wenn \( k \) und \( c \) konstant bleiben, also keinerlei weitere Vorsichtmaßnahmen zur Verringerung der Wachstumsrate \( k \) eingeführt werden)?
