Schritte zur Allgemeinen Lösung von DGL

Question

Aufgabe:

Finden sie die Allgemeine Lösung der DGL

1. (xy' - 1) ln(x) = 2y , x>0

2. (x^2)*y' + xy +1 = 0, x>0

Problem/Ansatz:

Hi leider verstehe ich nicht die Schritte, wie ich zu den DGL die allgemeine Lösung finden soll. Ich hatte mehrere Methoden gesehen, jedoch hatte ich immer das Gefühl, dass sie bei mir nicht klappen.

Ich bin für jede Hilfe dankbar!

Answer 1

Hallo,

Für 1 und 2 gilt:

Zuerst  die DGL entsprechend umformen ->Lösung via Variation der Konstanten

Es gilt allgemein: y' +A(x) y= B(x)

1.homogene DGL berechnen:
y' +A(x) y= 0->Trennung der Variablen
y_h=C₁ ln^2(x)

2. Setze C1= C(x)
yp=C(x) * ln^2(x)
yp'= C'(x) *ln^2(x) +C(x) (2 ln(x))/x
3.Setze yp und yp' in die DGL ein

dabei muß C(x) herausfallen, wenn Du richtig gerechnet hast,

C'(x)  ln^2(x) =1/x

C(x)= (-1)/(ln(x))
4. yp= C(x) * ln^2(x) = - ln(x)
5. y= yh+yp

Lösung: y=C₁ ln^2(x) - ln(x)