Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen der inhomogen linearen Differentialgleichungen

Question

Aufgabe:

Gesucht sind die allgemeinen Lösungen der inhomogen linearen Differentialgleichungen

(a)

y''' - 2y'' + y' = 3\( x^{2} \) - 4x + 1

(b)

y'' + 3y' + 2y = cos(x) + \( e^{- 2x} \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo,

a)

y''' - 2y'' + y' = 3 x^2 - 4x + 1

y''' - 2y'' + y' = 0 ->homogene DGL

Ansatz:

y= e^(kx) ->3 Mal ableiten ->in die homogene DGL einsetzen:

charakt. Gleichung:

k^3 - 2k^2 + k = 0

k( k^2 - 2k + 1) = 0

k( k-1)^2 = 0

---->

k₁= 0 → y₁=C₁

k_2.3=1 ----->y_2,3=  C₂ e^x +C₃e^x *x

yh= C₁ +C₂ e^x +C₃e^x *x

yp=x(A+Bx+Cx^2) -->Resonanz ------>3 Mal ableiten ->in die DGL einsetzen, Koeffizientenvergleich machen

yp= x^3+4x^2+11x

y=yh+yp

b) y'' + 3y' + 2y = cos(x) +e^(-2x)

-->Charakt. Gleichung:

k^2 +3k+2=0

k1=-1

k2=-2

yh=C₁ e^(-2x) +C₂e^(-x)

Ansatz part. Lösung summandweise:

y_p1= x A e^(-2x) ->Resonanz

y_p2= B cos(x) +C sin(x)

y=yp1+yp2

weiter siehe a)

Lösung:

\( y(x)=c_{1} e^{-2 x}+c_{2} e^{-x}-e^{-2 x} x+\frac{3 \sin (x)}{10}+\frac{\cos (x)}{10} \)

Comments

Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort. Ich konnte alles lösen.

Nur verstehe ich nicht ganz bei der a)

1.)wie kommst du auf : y2,3=C2*e^(x)+C3e^(x)*x

Woher kommt das "*x" ,liegt das an der doppelten Nulstelle ?

2.)wenn ich den Ansatz y= e^(kx) 3 mal ableite und einsetze komme ich auf C1e^(0x)-2*C2*e^(x)+C3ê^(x)

also -2*C2 und wie bei 1.) ohne das "*x"

Trotz allem vielen Dank, du hast mir sehr geholfen.

Mfg

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Woher kommt das "*x" ,liegt das an der doppelten Nullstelle ?

Ja , siehe hier:

http://www.micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Seite 2; Punkt 1; in der Tabelle Fall 2

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Ah ok, ich danke nochmals!!!