Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung und die Lösung des Anfangswertproblems

Question

Hallöchen! Ich habe ein Problem mit dem folgenden Aufgabe:

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung und die Lösung des Anfangswertproblems
a) \( y^{\prime}(t)=8 t-\frac{10}{t}-\frac{2}{t} \cdot y(t), \quad t>0, \quad y(1)=1 \).
b) \( y^{\prime}(t)=\frac{y(t)}{t}+t^{2} \cdot \sin (2 t), \quad t>0, \quad y(\pi / 4)=\pi / 8 \).

Freue mich auf jeden Tipp!

Comments

Freue mich auf jeden Tipp!

OK: Lineare Differentialgleichung erster Ordnung

- berechne die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung

- berechne eine Lösung der inhomogenen Gleichung (Variation der Konstanten)

Gruß Mathhilf

Answer 1

Hallo.

Lösung von a und b durch "Variation der Konstanten"

a)

y' = 8t -10/t -(2/t) y

y' +(2/t) y =8t -10/t

1)dann Berechnung der homogenen DGL:

y' +(2/t) y=0

dy/dt= -(2/t) y

dy/y= -2 dt/t

ln|y| =-2 ln|t|+C

yh=C1/ t^2

2) C1=C(t)

yp=C(t) /t^2

yp'= ....

3) yp und yp' in die DGL einsetzen und vereinfachen, C(t) muß wegfallen

4) C(t)= ..

5)yp=C(t) /t^2

6)y=yh+yp

b)

y'= y/t +t^2 sin(2t)

y'- y/t =t^2 sin(2t)

weiter wie Prinzip unter a)