Zeige, dass auch die Funktion d:={X×X→R(x, y)→(d(x,y))/(1+d(x,y)) eine Metrik auf X ist.

Question

Aufgabe:

Sei X eine Menge und d eine Metrik auf X. Zeige, dass auch die Funktion d:={X×X→R(x, y)→(d(x,y))/(1+d(x,y)) eine Metrik auf X ist. Hinweis: Zeige zunächst, dass die Funktion x∈R≥0→x/(1+x) monoton wachsend ist (z.B. durch Ableiten).

Problem/Ansatz:

Ich habe gezeigt dass die Funktion monton wachsend ist, aber kann die Metrikaxiome nicht beweisen.

Comments

An welchem der 3 Axiome einer Metrik hapert es denn?

Gruß

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Hallo MathePeter,

Es hapert eigentlich hauptsächlich an der Dreiecksungleichung

Gruß Exertis

Answer 1

Hallo,

die Dreiecksungleichung für die vorgegebene Metrik ist:
$$d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y)$$
Wegen der in der Aufgabe angegebenen Monotonie gilt für die neu definierte Metrik, nennen wir die mal D:
$$D(x,y) = \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} \leq \frac{d(x,z)+d(z,y)}{1+d(x,z)+d(z,y)}$$
$$=\frac{d(x,z)}{1+d(x,z)+d(z,y)}+\frac{d(z,y)}{1+d(x,z)+d(z,y)}$$
$$\leq \frac{d(x,z)}{1+d(x,z)}+\frac{d(z,y)}{1+d(z,y)}=D(x,z)+D(z,y)$$

Gruß

Comments

Vielen Dank!

Gruß Exertis